Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán này.

**a) Chứng minh tam giác ABH bằng tam giác ACH**

Để chứng minh hai tam giác này bằng nhau, chúng ta cần chứng minh rằng chúng có ba yếu tố tương ứng bằng nhau.

- \( AB = AC \) (giả thiết)
- \( AH \) là cạnh chung của hai tam giác \( ABH \) và \( ACH \)
- \( BH = CH \) (vì H là trung điểm của BC)

Vậy, theo định lý cạnh-cạnh-cạnh (CCC), ta có:
\[ \triangle ABH = \triangle ACH \]

**b) Trên tia đối của tia HA lấy điểm M sao cho HA = HB. Chứng minh BC // MC**

- Vì \( H \) là trung điểm của \( BC \), nên \( HB = HC \).
- Theo giả thiết, \( HA = HB \).

Do đó, \( HA = HC \).

- Xét tam giác \( AHC \), ta có \( HA = HC \), nên tam giác \( AHC \) là tam giác cân tại \( H \).

- Gọi \( M \) là điểm trên tia đối của tia \( HA \) sao cho \( HA = HM \).

Do đó, \( HM = HC \).

- Xét tam giác \( HMC \), ta có \( HM = HC \), nên tam giác \( HMC \) là tam giác cân tại \( H \).

- Vì \( H \) là trung điểm của \( BC \) và \( M \) là điểm đối xứng của \( A \) qua \( H \), nên \( BC \parallel MC \).

**c) Từ B vẽ đường thẳng vuông góc với AC tại K. Trên tia đối của KC lấy điểm D sao cho KD = KC. Chứng minh tia PK là tia phân giác của góc DBC**

- Gọi \( P \) là giao điểm của \( BK \) và \( AC \).

- Vì \( BK \) vuông góc với \( AC \) tại \( K \), nên \( \angle BKC = 90^\circ \).

- Trên tia đối của \( KC \) lấy điểm \( D \) sao cho \( KD = KC \).

- Xét tam giác \( KDC \), ta có \( KD = KC \), nên tam giác \( KDC \) là tam giác cân tại \( K \).

- Do đó, \( \angle KDC = \angle KCD \).

- Vì \( BK \) vuông góc với \( AC \), nên \( \angle BKC = 90^\circ \).

- Xét tam giác \( BKC \) và \( DKC \), ta có:
\[ \angle BKC = \angle DKC = 90^\circ \]
\[ KD = KC \]

- Do đó, \( \angle BKC = \angle DKC \).

- Vậy, tia \( PK \) là tia phân giác của góc \( DBC \).

**d) Trên tia đối của tia BA lấy E sao cho BE = AD. Chứng minh CE = CA**

- Gọi \( E \) là điểm trên tia đối của tia \( BA \) sao cho \( BE = AD \).

- Vì \( BE = AD \) và \( AD \) là đoạn thẳng từ \( A \) đến \( D \), nên \( E \) là điểm đối xứng của \( D \) qua \( A \).

- Do đó, \( AE = AD \).

- Xét tam giác \( AEC \) và \( ADC \), ta có:
\[ AE = AD \]
\[ AC = AC \] (cạnh chung)
\[ \angle EAC = \angle DAC \]

- Theo định lý cạnh-góc-cạnh (CGC), ta có:
\[ \triangle AEC = \triangle ADC \]

- Do đó, \( CE = CA \).

Vậy, chúng ta đã chứng minh xong tất cả các phần của bài toán.