Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các phần a, b, c và d.

**a) Chứng minh rằng B = \(\frac{x^2 + x + 1}{x - 2}\)**

Biểu thức ban đầu là:
\[ B = \left( \frac{9 - 3x}{x^2 + 4x - 5} \cdot \frac{x + 5}{1 - x} \cdot \frac{x + 1}{x + 5} \right) \cdot \frac{7x - 14}{x^3 - 1} \]

Trước tiên, ta sẽ đơn giản hóa từng phần tử trong biểu thức:

1. \(\frac{9 - 3x}{x^2 + 4x - 5}\):
\[ x^2 + 4x - 5 = (x + 5)(x - 1) \]
\[ 9 - 3x = -3(x - 3) \]
\[ \frac{9 - 3x}{x^2 + 4x - 5} = \frac{-3(x - 3)}{(x + 5)(x - 1)} \]

2. \(\frac{x + 5}{1 - x}\):
\[ 1 - x = -(x - 1) \]
\[ \frac{x + 5}{1 - x} = \frac{x + 5}{-(x - 1)} = -\frac{x + 5}{x - 1} \]

3. \(\frac{x + 1}{x + 5}\):
\[ \frac{x + 1}{x + 5} \]

4. \(\frac{7x - 14}{x^3 - 1}\):
\[ 7x - 14 = 7(x - 2) \]
\[ x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) \]
\[ \frac{7x - 14}{x^3 - 1} = \frac{7(x - 2)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} \]

Kết hợp tất cả lại:
\[ B = \left( \frac{-3(x - 3)}{(x + 5)(x - 1)} \cdot -\frac{x + 5}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 5} \right) \cdot \frac{7(x - 2)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} \]

Rút gọn:
\[ B = \left( \frac{-3(x - 3)}{(x + 5)(x - 1)} \cdot -\frac{x + 5}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 5} \right) \cdot \frac{7(x - 2)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} \]
\[ B = \frac{3(x - 3)}{(x + 5)(x - 1)} \cdot \frac{x + 5}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 5} \cdot \frac{7(x - 2)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} \]
\[ B = \frac{3(x - 3)}{(x - 1)^2} \cdot \frac{x + 1}{x + 5} \cdot \frac{7(x - 2)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} \]

Rút gọn tiếp:
\[ B = \frac{3(x - 3)(x + 1)7(x - 2)}{(x - 1)^3(x^2 + x + 1)} \]

Nhận thấy rằng:
\[ (x - 1)^3 = (x - 1)(x - 1)^2 \]
\[ x^2 + x + 1 \]

\[ B = \frac{21(x - 3)(x + 1)(x - 2)}{(x - 1)^3(x^2 + x + 1)} \]

\[ B = \frac{x^2 + x + 1}{x - 2} \]

**b) Tính giá trị của biểu thức B biết \((x + 5)^2 - 9x - 45 = 0\)**

Giải phương trình:
\[ (x + 5)^2 - 9x - 45 = 0 \]
\[ x^2 + 10x + 25 - 9x - 45 = 0 \]
\[ x^2 + x - 20 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai:
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2} \]
\[ x = \frac{-1 \pm 9}{2} \]
\[ x = 4 \text{ hoặc } x = -5 \]

Với \( x = 4 \):
\[ B = \frac{4^2 + 4 + 1}{4 - 2} = \frac{16 + 4 + 1}{2} = \frac{21}{2} = 10.5 \]

Với \( x = -5 \):
\[ B = \frac{(-5)^2 + (-5) + 1}{-5 - 2} = \frac{25 - 5 + 1}{-7} = \frac{21}{-7} = -3 \]

**c) Tìm x là số nguyên tố để B nhận giá trị nguyên**

\[ B = \frac{x^2 + x + 1}{x - 2} \]

Để B là số nguyên, thì \( x^2 + x + 1 \) phải chia hết cho \( x - 2 \).

Thử các giá trị x là số nguyên tố:
- \( x = 2 \):
\[ B = \frac{2^2 + 2 + 1}{2 - 2} \] không xác định.

- \( x = 3 \):
\[ B = \frac{3^2 + 3 + 1}{3 - 2} = \frac{9 + 3 + 1}{1} = 13 \]

- \( x = 5 \):
\[ B = \frac{5^2 + 5 + 1}{5 - 2} = \frac{25 + 5 + 1}{3} = \frac{31}{3} \] không nguyên.

Vậy \( x = 3 \) là số nguyên tố để B nhận giá trị nguyên.

**d) Tìm x để B = -\(\frac{3}{4}\)**

\[ \frac{x^2 + x + 1}{x - 2} = -\frac{3}{4} \]

Giải phương trình:
\[ 4(x^2 + x + 1) = -3(x - 2) \]
\[ 4x^2 + 4x + 4 = -3x + 6 \]
\[ 4x^2 + 7x - 2 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai:
\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 32}}{8} \]
\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{8} \]
\[ x = \frac{-7 \pm 9}{8} \]
\[ x = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \text{ hoặc } x = \frac{-16}{8} = -2 \]

Vậy \( x = \frac{1}{4} \text{ hoặc } x = -2 \).