Để giải hệ phương trình:

\[ \frac{x}{3} = \frac{y}{5} \]
\[ x^2 - y^2 = 5 \]

Ta làm theo các bước sau:

1. Từ phương trình đầu tiên, ta có thể biểu diễn \(x\) theo \(y\):

\[ \frac{x}{3} = \frac{y}{5} \]
\[ 5x = 3y \]
\[ x = \frac{3y}{5} \]

2. Thay \(x = \frac{3y}{5}\) vào phương trình thứ hai:

\[ \left(\frac{3y}{5}\right)^2 - y^2 = 5 \]
\[ \frac{9y^2}{25} - y^2 = 5 \]

3. Đưa về cùng mẫu số:

\[ \frac{9y^2}{25} - \frac{25y^2}{25} = 5 \]
\[ \frac{9y^2 - 25y^2}{25} = 5 \]
\[ \frac{-16y^2}{25} = 5 \]

4. Nhân cả hai vế với 25:

\[ -16y^2 = 125 \]

5. Chia cả hai vế cho -16:

\[ y^2 = -\frac{125}{16} \]

Điều này dẫn đến một kết luận vô lý vì \(y^2\) không thể là một số âm. Do đó, không tồn tại giá trị thực của \(x\) và \(y\) thỏa mãn hệ phương trình đã cho.

Vậy, hệ phương trình không có nghiệm thực.