Để chứng minh rằng hàm số \( g(x) = \frac{x}{x-1} \) nghịch biến trên khoảng \( (1; +\infty) \), ta cần tính đạo hàm của hàm số này và kiểm tra dấu của đạo hàm trên khoảng đó.

Ta có:
\[ g(x) = \frac{x}{x-1} \]

Để tính đạo hàm của \( g(x) \), ta sử dụng quy tắc đạo hàm của thương số:
\[ g'(x) = \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

Trong đó \( u = x \) và \( v = x-1 \). Ta có:
\[ u' = 1 \]
\[ v' = 1 \]

Do đó:
\[ g'(x) = \frac{(1)(x-1) - (x)(1)}{(x-1)^2} = \frac{x-1-x}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x-1)^2} \]

Xét dấu của \( g'(x) \) trên khoảng \( (1; +\infty) \):
- Trên khoảng \( (1; +\infty) \), \( (x-1)^2 > 0 \) vì \( x-1 > 0 \).
- Do đó, \( g'(x) = \frac{-1}{(x-1)^2} < 0 \) trên khoảng \( (1; +\infty) \).

Vì \( g'(x) < 0 \) trên khoảng \( (1; +\infty) \), nên hàm số \( g(x) = \frac{x}{x-1} \) nghịch biến trên khoảng này.

Vậy, ta đã chứng minh rằng hàm số \( g(x) = \frac{x}{x-1} \) nghịch biến trên khoảng \( (1; +\infty) \).