### Bài 5:
Cho biểu thức \( P = \left( \frac{x^2 - 2}{x^2 + 2x} + \frac{1}{x + 2} \right) \frac{x + 1}{x} \) với \( x \neq 0, x \neq -2, x \neq -1 \).

a) Rút gọn biểu thức \( P \):
\[ P = \left( \frac{x^2 - 2}{x^2 + 2x} + \frac{1}{x + 2} \right) \frac{x + 1}{x} \]

Ta có:
\[ \frac{x^2 - 2}{x^2 + 2x} = \frac{x^2 - 2}{x(x + 2)} \]

Do đó:
\[ P = \left( \frac{x^2 - 2}{x(x + 2)} + \frac{1}{x + 2} \right) \frac{x + 1}{x} \]
\[ = \left( \frac{x^2 - 2 + x}{x(x + 2)} \right) \frac{x + 1}{x} \]
\[ = \left( \frac{x^2 + x - 2}{x(x + 2)} \right) \frac{x + 1}{x} \]
\[ = \left( \frac{(x - 1)(x + 2)}{x(x + 2)} \right) \frac{x + 1}{x} \]
\[ = \frac{x - 1}{x} \cdot \frac{x + 1}{x} \]
\[ = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x^2} \]
\[ = \frac{x^2 - 1}{x^2} \]
\[ = 1 - \frac{1}{x^2} \]

b) Tìm \( x \) để \( P = \frac{5}{2} \):
\[ 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{5}{2} \]
\[ \frac{1}{x^2} = 1 - \frac{5}{2} \]
\[ \frac{1}{x^2} = -\frac{3}{2} \]

Không có giá trị thực của \( x \) thỏa mãn điều kiện này.

c) Tìm giá trị \( x \) nguyên để \( P \) nhận giá trị nguyên:
\[ 1 - \frac{1}{x^2} \]

Để \( P \) là số nguyên, \( \frac{1}{x^2} \) phải là số nguyên. Điều này chỉ xảy ra khi \( x^2 = 1 \), tức là \( x = \pm 1 \).

### Bài 6:
Cho biểu thức \( A = \left( \frac{x}{x^2 - 4} + \frac{1}{x + 2} - \frac{2}{x - 2} \right) : \left( 1 - \frac{x}{x + 2} \right) \) với \( x \neq \pm 2 \).

a) Rút gọn biểu thức \( A \):
\[ A = \left( \frac{x}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{1}{x + 2} - \frac{2}{x - 2} \right) : \left( 1 - \frac{x}{x + 2} \right) \]
\[ = \left( \frac{x}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{1}{x + 2} - \frac{2}{x - 2} \right) : \left( \frac{x + 2 - x}{x + 2} \right) \]
\[ = \left( \frac{x}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{1}{x + 2} - \frac{2}{x - 2} \right) : \left( \frac{2}{x + 2} \right) \]
\[ = \left( \frac{x + 1}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{2}{x - 2} \right) \cdot \frac{x + 2}{2} \]
\[ = \left( \frac{x + 1 - 2(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} \right) \cdot \frac{x + 2}{2} \]
\[ = \left( \frac{x + 1 - 2x - 4}{(x - 2)(x + 2)} \right) \cdot \frac{x + 2}{2} \]
\[ = \left( \frac{-x - 3}{(x - 2)(x + 2)} \right) \cdot \frac{x + 2}{2} \]
\[ = \frac{-(x + 3)}{2(x - 2)} \]

b) Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = -4 \):
\[ A = \frac{-(x + 3)}{2(x - 2)} \]
\[ A = \frac{-(-4 + 3)}{2(-4 - 2)} \]
\[ A = \frac{-(-1)}{2(-6)} \]
\[ A = \frac{1}{-12} \]
\[ A = -\frac{1}{12} \]

c) Tìm các giá trị nguyên của \( x \) để \( A \) có giá trị nguyên:
\[ \frac{-(x + 3)}{2(x - 2)} \]

Để \( A \) là số nguyên, \( 2(x - 2) \) phải là ước của \( -(x + 3) \). Điều này xảy ra khi \( x = 2 \) hoặc \( x = -1 \).

### Bài 7:
Cho biểu thức \( A = \left( \frac{4x}{x^2 + 2x} + \frac{2}{x - 2} - \frac{6 - 5x}{4 - x^2} \right) \frac{x + 1}{x - 2} \).

a) Rút gọn biểu thức \( A \):
\[ A = \left( \frac{4x}{x(x + 2)} + \frac{2}{x - 2} - \frac{6 - 5x}{(2 - x)(2 + x)} \right) \frac{x + 1}{x - 2} \]
\[ = \left( \frac{4}{x + 2} + \frac{2}{x - 2} - \frac{6 - 5x}{-(x - 2)(x + 2)} \right) \frac{x + 1}{x - 2} \]
\[ = \left( \frac{4}{x + 2} + \frac{2}{x - 2} + \frac{6 - 5x}{(x - 2)(x + 2)} \right) \frac{x + 1}{x - 2} \]
\[ = \left( \frac{4(x - 2) + 2(x + 2) + 6 - 5x}{(x - 2)(x + 2)} \right) \frac{x + 1}{x - 2} \]
\[ = \left( \frac{4x - 8 + 2x + 4 + 6 - 5x}{(x - 2)(x + 2)} \right) \frac{x + 1}{x - 2} \]
\[ = \left( \frac{x + 2}{(x - 2)(x + 2)} \right) \frac{x + 1}{x - 2} \]
\[ = \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x + 1}{x - 2} \]
\[ = \frac{x + 1}{(x - 2)^2} \]

b) Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x \) thỏa mãn \( x^2 - 2x = 8 \):
\[ x^2 - 2x - 8 = 0 \]
\[ (x - 4)(x + 2) = 0 \]
\[ x = 4 \text{ hoặc } x = -2 \]

Với \( x = 4 \):
\[ A = \frac{4 + 1}{(4 - 2)^2} \]
\[ A = \frac{5}{4} \]

Với \( x = -2 \):
\[ A \text{ không xác định vì mẫu số bằng 0.} \]

c) Tìm các giá trị nguyên của \( x \) để \( A \) có giá trị nguyên:
\[ \frac{x + 1}{(x - 2)^2} \]

Để \( A \) là số nguyên, \( (x - 2)^2 \) phải là ước của \( x + 1 \). Điều này xảy ra khi \( x = 3 \) hoặc \( x = 1 \).