Để giải phương trình lượng giác sau:

\[ \frac{\sin^3 \alpha}{\tan \alpha - \sin \alpha} = \cos \alpha (1 + \cos \alpha) \]

Ta thực hiện các bước sau:

1. Biểu diễn \(\tan \alpha\) theo \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\):

\[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \]

2. Thay \(\tan \alpha\) vào phương trình:

\[ \frac{\sin^3 \alpha}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \sin \alpha} = \cos \alpha (1 + \cos \alpha) \]

3. Đơn giản hóa mẫu số:

\[ \frac{\sin^3 \alpha}{\frac{\sin \alpha - \sin \alpha \cos \alpha}{\cos \alpha}} = \cos \alpha (1 + \cos \alpha) \]

\[ \frac{\sin^3 \alpha}{\frac{\sin \alpha (1 - \cos \alpha)}{\cos \alpha}} = \cos \alpha (1 + \cos \alpha) \]

\[ \frac{\sin^3 \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha (1 - \cos \alpha)} = \cos \alpha (1 + \cos \alpha) \]

4. Đơn giản hóa phân số:

\[ \frac{\sin^2 \alpha \cos \alpha}{1 - \cos \alpha} = \cos \alpha (1 + \cos \alpha) \]

5. Nhân cả hai vế với \(1 - \cos \alpha\):

\[ \sin^2 \alpha \cos \alpha = \cos \alpha (1 + \cos \alpha)(1 - \cos \alpha) \]

6. Đơn giản hóa vế phải:

\[ \sin^2 \alpha \cos \alpha = \cos \alpha (1 - \cos^2 \alpha) \]

7. Nhận ra rằng \(1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha\):

\[ \sin^2 \alpha \cos \alpha = \cos \alpha \sin^2 \alpha \]

8. Nếu \(\cos \alpha \neq 0\), ta có thể chia cả hai vế cho \(\cos \alpha\):

\[ \sin^2 \alpha = \sin^2 \alpha \]

Điều này luôn đúng, do đó phương trình đúng với mọi \(\alpha\) sao cho \(\cos \alpha \neq 0\).

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[ \alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \]