Chào bạn! Mình sẽ giúp bạn giải các bài toán này.

### Bài 5:
Cho biểu thức \( P = \left( \frac{x^2 - 2}{x^2 + 2x} + \frac{1}{x + 2} \right) \cdot \frac{x + 1}{x} \) với \( x \neq 0, x \neq -2, x \neq -1 \).

#### a) Rút gọn biểu thức \( P \):

Ta có:
\[ \frac{x^2 - 2}{x^2 + 2x} = \frac{x^2 - 2}{x(x + 2)} \]

Biểu thức \( P \) trở thành:
\[ P = \left( \frac{x^2 - 2}{x(x + 2)} + \frac{1}{x + 2} \right) \cdot \frac{x + 1}{x} \]

Ta quy đồng mẫu số trong ngoặc:
\[ \frac{x^2 - 2}{x(x + 2)} + \frac{1}{x + 2} = \frac{x^2 - 2 + x}{x(x + 2)} = \frac{x^2 + x - 2}{x(x + 2)} \]

Phân tích tử số:
\[ x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) \]

Do đó:
\[ \frac{x^2 + x - 2}{x(x + 2)} = \frac{(x + 2)(x - 1)}{x(x + 2)} = \frac{x - 1}{x} \]

Biểu thức \( P \) trở thành:
\[ P = \frac{x - 1}{x} \cdot \frac{x + 1}{x} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2} = 1 - \frac{1}{x^2} \]

#### b) Tìm \( x \) để \( P = \frac{5}{2} \):

\[ 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{5}{2} \]
\[ \frac{1}{x^2} = 1 - \frac{5}{2} = -\frac{3}{2} \]

Điều này vô lý vì \( \frac{1}{x^2} \) không thể âm. Vậy không có giá trị \( x \) nào thỏa mãn \( P = \frac{5}{2} \).

#### c) Tìm giá trị \( x \) nguyên để \( P \) nhận giá trị nguyên:

\[ 1 - \frac{1}{x^2} \] là số nguyên khi \( \frac{1}{x^2} \) là số nguyên.

Vì \( \frac{1}{x^2} \) là số nguyên, nên \( x^2 = 1 \) (vì \( x \neq 0 \)).

Do đó, \( x = 1 \) hoặc \( x = -1 \).

### Bài 6:
Cho biểu thức \( A = \left( \frac{x}{x^2 - 4} + \frac{1}{x + 2} - \frac{2}{x - 2} \right) \cdot \frac{1 - x}{x + 2} \) với \( x \neq \pm 2 \).

#### a) Rút gọn biểu thức \( A \):

Ta có:
\[ \frac{x}{x^2 - 4} = \frac{x}{(x - 2)(x + 2)} \]

Biểu thức \( A \) trở thành:
\[ A = \left( \frac{x}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{1}{x + 2} - \frac{2}{x - 2} \right) \cdot \frac{1 - x}{x + 2} \]

Quy đồng mẫu số trong ngoặc:
\[ \frac{x}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{1}{x + 2} - \frac{2}{x - 2} = \frac{x + 2 - 2(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x + 2 - 2x - 4}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{-x - 2}{(x - 2)(x + 2)} \]

Biểu thức \( A \) trở thành:
\[ A = \frac{-x - 2}{(x - 2)(x + 2)} \cdot \frac{1 - x}{x + 2} = \frac{-(x + 2)(1 - x)}{(x - 2)(x + 2)(x + 2)} = \frac{-(1 - x)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)^2} \]

Rút gọn:
\[ A = \frac{-(1 - x)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x - 1}{(x - 2)(x + 2)} \]

#### b) Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = -4 \):

Thay \( x = -4 \) vào biểu thức đã rút gọn:
\[ A = \frac{-4 - 1}{(-4 - 2)(-4 + 2)} = \frac{-5}{-6 \cdot -2} = \frac{-5}{12} \]

#### c) Tìm các giá trị nguyên của \( x \) để \( A \) có giá trị nguyên:

\[ \frac{x - 1}{(x - 2)(x + 2)} \] là số nguyên khi \( x - 1 \) chia hết cho \( (x - 2)(x + 2) \).

Ta thử các giá trị nguyên của \( x \) và kiểm tra điều kiện này.

### Bài 7:
Cho biểu thức \( A = \left( \frac{4x}{x^2 + 2x} + \frac{2}{x - 2} - \frac{6 - 5x}{x^2 - 4} \right) \cdot \frac{x + 1}{x - 2} \).

#### a) Rút gọn biểu thức \( A \):

Ta có:
\[ \frac{4x}{x^2 + 2x} = \frac{4x}{x(x + 2)} = \frac{4}{x + 2} \]

Biểu thức \( A \) trở thành:
\[ A = \left( \frac{4}{x + 2} + \frac{2}{x - 2} - \frac{6 - 5x}{(x - 2)(x + 2)} \) \cdot \frac{x + 1}{x - 2} \]

Quy đồng mẫu số trong ngoặc:
\[ \frac{4}{x + 2} + \frac{2}{x - 2} - \frac{6 - 5x}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{4(x - 2) + 2(x + 2) - (6 - 5x)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{4x - 8 + 2x + 4 - 6 + 5x}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{11x - 10}{(x - 2)(x + 2)} \]

Biểu thức \( A \) trở thành:
\[ A = \frac{11x - 10}{(x - 2)(x + 2)} \cdot \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{(11x - 10)(x + 1)}{(x - 2)^2(x + 2)} \]

#### b) Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x \) thỏa mãn \( x^2 - 2x = 8 \):

Giải phương trình:
\[ x^2 - 2x - 8 = 0 \]
\[ (x - 4)(x + 2) = 0 \]
\[ x = 4 \text{ hoặc } x = -2 \]

Thay \( x = 4 \) vào biểu thức đã rút gọn:
\[ A = \frac{(11 \cdot 4 - 10)(4 + 1)}{(4 - 2)^2(4 + 2)} = \frac{34 \cdot 5}{4 \cdot 6} = \frac{170}{24} = \frac{85}{12} \]

Thay \( x = -2 \) vào biểu thức đã rút gọn:
\[ A = \frac{(11 \cdot -2 - 10)(-2 + 1)}{(-2 - 2)^2(-2 + 2)} \]
Do \( x = -2 \) làm mẫu số bằng 0, nên không thỏa mãn.

#### c) Tìm các giá trị nguyên của \( x \) để \( A \) có giá trị nguyên:

\[ \frac{(11x - 10)(x + 1)}{(x - 2)^2(x + 2)} \] là số nguyên khi \( (11x - 10)(x + 1) \) chia hết cho \( (x - 2)^2(x + 2) \).

Ta thử các giá trị nguyên của \( x \) và kiểm tra điều kiện này.

Hy vọng các bước giải trên sẽ giúp bạn hiểu và giải quyết các bài toán này!