Chứng minh rằng m chia hết cho n

Để chứng minh bài toán tổng quát: Cho \(a, b > 1\) là hai số nguyên dương và \((a, b) = 1\). Chứng minh rằng nếu \(a^m + b^m\) chia hết cho \(a^n + b^n\) thì \(m\) chia hết cho \(n\).

**Lời giải:**

Giả sử \(m\) không chia hết cho \(n\), tức là \(m = nq + r\) với \(0 < r < n\). Ta có:

\[a^m + b^m = a^{nq + r} + b^{nq + r} = (a^n)^q \cdot a^r + (b^n)^q \cdot b^r\]

Do \(a^m + b^m\) chia hết cho \(a^n + b^n\), ta có:

\[a^n + b^n \mid a^m + b^m\]

Suy ra:

\[a^n + b^n \mid (a^n)^q \cdot a^r + (b^n)^q \cdot b^r\]

Ta có thể viết lại:

\[a^n + b^n \mid a^r \cdot (a^n)^q + b^r \cdot (b^n)^q\]

Do \(a^n + b^n\) chia hết cho \(a^m + b^m\), ta có:

\[a^n + b^n \mid a^r \cdot (a^n)^q + b^r \cdot (b^n)^q - (a^n + b^n) \cdot k\]

với \(k\) là một số nguyên nào đó.

Bằng cách lặp đi lặp lại phép biến đổi trên sau một số hữu hạn bước, ta suy ra:

\[a^n + b^n \mid a^{r} + b^{r}\]

Khi \(r = 0\), ta được \(a^n + b^n \mid a^0 + b^0 = 1 + 1 = 2\).

Điều này mâu thuẫn vì \(a^n + b^n > 2\) (do \(a, b > 1\)).

Vậy điều giả sử là sai. Do đó, \(m\) phải chia hết cho \(n\).

Bài toán được chứng minh.