Chúng ta sẽ lần lượt giải các bài toán đã nêu.

### Bài 3:
Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AH vuông góc BC (H thuộc BC).

#### a) Chứng minh BH = HC:
Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC. Kẻ AH vuông góc với BC tại H, do đó AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác cân ABC. Vậy H là trung điểm của BC, tức là BH = HC.

#### b) Kẻ HE vuông góc với AC (E thuộc AC), HF vuông góc AB (F thuộc AB). Hỏi tam giác HEF là tam giác gì? Vì sao?
Vì HE vuông góc với AC và HF vuông góc với AB, nên HE và HF là các đường cao của tam giác ABC. Do đó, H là trực tâm của tam giác ABC.

Xét tam giác HEF:
- HE vuông góc với AC.
- HF vuông góc với AB.

Do đó, góc EHF = 90 độ. Vì tam giác HEF có một góc vuông, nên tam giác HEF là tam giác vuông tại H.

### Bài 4:
Cho tam giác ABC cân có AB = AC = 5 cm, BC = 8 cm. Kẻ AH vuông góc với BC tại H.

#### a) Chứng minh: HB = HC và góc BAH = góc CAH:
Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC. Kẻ AH vuông góc với BC tại H, do đó AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác cân ABC. Vậy H là trung điểm của BC, tức là HB = HC.

Góc BAH và góc CAH là hai góc kề bù nhau và bằng nhau vì tam giác ABC cân tại A. Do đó, góc BAH = góc CAH.

#### b) Kẻ HD vuông góc AB (D thuộc AB), kẻ HE vuông góc AC (E thuộc AC). Chứng minh: tam giác HDE là tam giác cân.
Vì HD vuông góc với AB và HE vuông góc với AC, nên HD và HE là các đường cao của tam giác ABC. Do đó, H là trực tâm của tam giác ABC.

Xét tam giác HDE:
- HD vuông góc với AB.
- HE vuông góc với AC.

Do tam giác ABC cân tại A, nên các đoạn HD và HE bằng nhau. Vì vậy, tam giác HDE là tam giác cân tại H.

### Bài 6:
Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Qua A vẽ đường thẳng d // BC.

#### a) Chứng minh tam giác ABD = tam giác ACD:
Vì D là trung điểm của BC, nên BD = DC. Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC. Do đó, tam giác ABD và tam giác ACD có:
- AB = AC.
- BD = DC.
- AD là cạnh chung.

Vậy tam giác ABD = tam giác ACD (theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh).

#### b) Chứng minh AD là tia phân giác của góc BAC:
Vì tam giác ABD = tam giác ACD (theo chứng minh trên), nên góc BAD = góc CAD. Do đó, AD là tia phân giác của góc BAC.

#### c) Chứng minh AD vuông góc d:
Vì d // BC và AD là đường trung tuyến của tam giác cân ABC, nên AD vuông góc với BC. Do d // BC, nên AD cũng vuông góc với d.