Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Viết tỉ số lượng giác góc B

Trong tam giác vuông \( \triangle ABC \) vuông tại A, góc B là một trong hai góc nhọn. Ta có thể viết các tỉ số lượng giác của góc B như sau:

- **Sin(B)**: Tỉ số giữa đối diện và cạnh huyền.
\[ \sin(B) = \frac{AC}{BC} \]

- **Cos(B)**: Tỉ số giữa kề và cạnh huyền.
\[ \cos(B) = \frac{AB}{BC} \]

- **Tan(B)**: Tỉ số giữa đối diện và kề.
\[ \tan(B) = \frac{AC}{AB} \]

- **Cot(B)**: Tỉ số giữa kề và đối diện.
\[ \cot(B) = \frac{AB}{AC} \]

### b) Chứng minh hệ thức \( AH \times BC = AB \times AC \)

Để chứng minh hệ thức này, ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác vuông và đường cao.

1. **Tính chất của đường cao trong tam giác vuông**:
Trong tam giác vuông \( \triangle ABC \) vuông tại A, đường cao \( AH \) chia tam giác thành hai tam giác vuông nhỏ hơn là \( \triangle ABH \) và \( \triangle ACH \). Các tam giác này đều đồng dạng với tam giác \( \triangle ABC \).

2. **Sử dụng định lý đồng dạng**:
Do các tam giác \( \triangle ABH \), \( \triangle ACH \) và \( \triangle ABC \) đồng dạng, ta có các tỉ lệ:
\[ \frac{AH}{AB} = \frac{AC}{BC} \]
\[ \frac{AH}{AC} = \frac{AB}{BC} \]

3. **Chứng minh hệ thức**:
Ta có:
\[ \frac{AH}{AB} = \frac{AC}{BC} \]
Nhân chéo lên, ta được:
\[ AH \times BC = AB \times AC \]

Vậy, ta đã chứng minh được hệ thức \( AH \times BC = AB \times AC \).

### Kết luận

- Tỉ số lượng giác của góc B trong tam giác vuông tại A là:
\[ \sin(B) = \frac{AC}{BC}, \quad \cos(B) = \frac{AB}{BC}, \quad \tan(B) = \frac{AC}{AB}, \quad \cot(B) = \frac{AB}{AC} \]

- Hệ thức \( AH \times BC = AB \times AC \) đã được chứng minh.