Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng

Để chứng minh bất đẳng thức \( \sqrt[3]{15ab + a} + \sqrt[3]{15bc + b} + \sqrt[3]{15ca + c} \leq 6 \) với \( a, b, c \geq 0 \) và \( a + b + c = 3 \), ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc bất đẳng thức AM-GM.

### Sử dụng bất đẳng thức AM-GM:

Ta có bất đẳng thức AM-GM cho ba số không âm \( x, y, z \):

\[ \frac{x + y + z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz} \]

Áp dụng bất đẳng thức này cho các số \( \sqrt[3]{15ab + a}, \sqrt[3]{15bc + b}, \sqrt[3]{15ca + c} \):

\[ \frac{\sqrt[3]{15ab + a} + \sqrt[3]{15bc + b} + \sqrt[3]{15ca + c}}{3} \geq \sqrt[3]{\sqrt[3]{(15ab + a)(15bc + b)(15ca + c)}} \]

Do \( a + b + c = 3 \), ta có thể giả sử \( a, b, c \) là các số không âm sao cho \( a + b + c = 3 \). Bây giờ, ta cần chứng minh rằng:

\[ \sqrt[3]{(15ab + a)(15bc + b)(15ca + c)} \leq 6 \]

Để đơn giản hóa, ta xét \( a = b = c = 1 \):

\[ \sqrt[3]{(15 \cdot 1 \cdot 1 + 1)(15 \cdot 1 \cdot 1 + 1)(15 \cdot 1 \cdot 1 + 1)} = \sqrt[3]{16 \cdot 16 \cdot 16} = \sqrt[3]{16^3} = 16 \]

Tuy nhiên, \( 16 \) không thỏa mãn điều kiện \( \leq 6 \). Do đó, ta cần tìm cách khác để chứng minh.

### Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các số không âm \( a, b, c \):

\[ (\sqrt[3]{15ab + a} + \sqrt[3]{15bc + b} + \sqrt[3]{15ca + c})^3 \leq (1^2 + 1^2 + 1^2)(15ab + a + 15bc + b + 15ca + c) \]

\[ = 3(15ab + 15bc + 15ca + a + b + c) \]

Do \( a + b + c = 3 \), ta có:

\[ 3(15ab + 15bc + 15ca + 3) \]

Bây giờ ta cần chứng minh rằng:

\[ 3(15ab + 15bc + 15ca + 3) \leq 216 \]

\[ 15ab + 15bc + 15ca + 3 \leq 72 \]

\[ 15(ab + bc + ca) + 3 \leq 72 \]

\[ 15(ab + bc + ca) \leq 69 \]

\[ ab + bc + ca \leq \frac{69}{15} = 4.6 \]

Do \( a + b + c = 3 \), ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM:

\[ ab + bc + ca \leq \frac{(a + b + c)^2}{3} = \frac{3^2}{3} = 3 \]

Do đó, \( ab + bc + ca \leq 3 \leq 4.6 \) là đúng.

Vậy ta đã chứng minh được rằng:

\[ \sqrt[3]{15ab + a} + \sqrt[3]{15bc + b} + \sqrt[3]{15ca + c} \leq 6 \]

Điều này hoàn thành chứng minh.