Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo các bước sau:

### a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông

Sử dụng định lý Pythagoras để kiểm tra xem tam giác ABC có phải là tam giác vuông hay không. Định lý Pythagoras phát biểu rằng trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.

Giả sử tam giác ABC vuông tại B, ta có:
- AB = a√5
- BC = a√3
- AC = a√2

Ta kiểm tra xem \( AB^2 + BC^2 \) có bằng \( AC^2 \) không:

\[ AB^2 = (a\sqrt{5})^2 = a^2 \cdot 5 = 5a^2 \]
\[ BC^2 = (a\sqrt{3})^2 = a^2 \cdot 3 = 3a^2 \]
\[ AC^2 = (a\sqrt{2})^2 = a^2 \cdot 2 = 2a^2 \]

Tổng của \( AB^2 \) và \( BC^2 \):

\[ AB^2 + BC^2 = 5a^2 + 3a^2 = 8a^2 \]

So sánh với \( AC^2 \):

\[ AC^2 = 2a^2 \]

Rõ ràng \( AB^2 + BC^2 \neq AC^2 \), do đó tam giác ABC không vuông tại B.

Giả sử tam giác ABC vuông tại C, ta có:
\[ AB^2 = 5a^2 \]
\[ AC^2 = 2a^2 \]
\[ BC^2 = 3a^2 \]

Tổng của \( AC^2 \) và \( BC^2 \):

\[ AC^2 + BC^2 = 2a^2 + 3a^2 = 5a^2 \]

So sánh với \( AB^2 \):

\[ AB^2 = 5a^2 \]

Rõ ràng \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \), do đó tam giác ABC vuông tại C.

### b) Tính các tỉ số lượng giác của góc B. Từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A.

Vì tam giác ABC vuông tại C, ta có thể tính các tỉ số lượng giác của góc B:

- Sin(B) = đối/huyền = AC/AB = (a√2)/(a√5) = √2/√5 = √(2/5)
- Cos(B) = kề/huyền = BC/AB = (a√3)/(a√5) = √3/√5 = √(3/5)
- Tan(B) = đối/kề = AC/BC = (a√2)/(a√3) = √2/√3 = √(2/3)
- Cot(B) = kề/đối = BC/AC = (a√3)/(a√2) = √3/√2 = √(3/2)

Từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A:

- Sin(A) = Cos(B) = √(3/5)
- Cos(A) = Sin(B) = √(2/5)
- Tan(A) = Cot(B) = √(3/2)
- Cot(A) = Tan(B) = √(2/3)

Vậy các tỉ số lượng giác của góc B và góc A đã được tính như trên.