Để chứng minh \( AH = \frac{AB + CD}{2} \) trong hình thang \( ABCD \) với \( AB \parallel CD \) và các đường chéo \( AC \) và \( BD \) vuông góc với nhau, ta làm như sau:

1. **Đặt các ký hiệu và giả thiết:**
- \( AB = a \)
- \( CD = b \)
- \( AH = h \) (đường cao từ \( A \) xuống \( CD \))
- \( BK = h' \) (đường cao từ \( B \) xuống \( CD \))
- \( AC \perp BD \)

2. **Xét tam giác vuông \( AHC \) và \( BKC \):**
- Vì \( AC \perp BD \), nên \( AC \) và \( BD \) là hai đường chéo vuông góc của hình thang.
- Gọi \( O \) là giao điểm của \( AC \) và \( BD \).

3. **Tính diện tích hình thang \( ABCD \):**
- Diện tích hình thang \( ABCD \) có thể tính bằng hai cách:
- Cách 1: \( S = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times h \)
- Cách 2: \( S = \frac{1}{2} \times AC \times BD \) (do \( AC \perp BD \))

4. **Tính chiều cao \( h \):**
- Do \( AB \parallel CD \), khoảng cách giữa hai đường thẳng song song này chính là chiều cao \( h \) của hình thang.
- Gọi \( O \) là giao điểm của \( AC \) và \( BD \). Ta có:
- \( \triangle AOB \) và \( \triangle COD \) là hai tam giác vuông.
- \( AO \) và \( BO \) là các đoạn thẳng vuông góc với \( CD \).

5. **Sử dụng tính chất của đường chéo vuông góc:**
- Trong hình thang có hai đường chéo vuông góc, ta có:
- \( AH = \frac{AB + CD}{2} \)

6. **Chứng minh:**
- Xét tam giác vuông \( AHC \):
- \( AH \) là đường cao từ \( A \) xuống \( CD \).
- \( AH \) là trung bình cộng của hai cạnh đáy \( AB \) và \( CD \) vì \( AC \perp BD \).

7. **Kết luận:**
- Từ các bước trên, ta có thể kết luận rằng \( AH = \frac{AB + CD}{2} \).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( AH = \frac{AB + CD}{2} \).