Cho m, n là 2 số nguyên dương thỏa mãn 2022^m + 1 chia hết cho 2022^n + 1. Chứng minh rằng m chia hết cho n

Để chứng minh rằng nếu \(2022^m + 1\) chia hết cho \(2022^n + 1\) thì \(m\) phải chia hết cho \(n\), ta sẽ sử dụng phương pháp phản chứng.

Giả sử \(m\) không chia hết cho \(n\), tức là \(m = nq + r\) với \(0 < r < n\).

Ta có:
\[2022^m + 1 \equiv 0 \pmod{2022^n + 1}\]

Điều này có nghĩa là:
\[2022^m \equiv -1 \pmod{2022^n + 1}\]

Thay \(m = nq + r\) vào, ta được:
\[2022^{nq + r} \equiv -1 \pmod{2022^n + 1}\]

Do đó:
\[2022^{nq} \cdot 2022^r \equiv -1 \pmod{2022^n + 1}\]

Ta biết rằng:
\[2022^{nq} \equiv 1 \pmod{2022^n + 1}\]

Vì \(2022^n \equiv -1 \pmod{2022^n + 1}\), nên:
\[2022^{nq} = (2022^n)^q \equiv (-1)^q \equiv 1 \pmod{2022^n + 1}\]

Do đó:
\[2022^r \equiv -1 \pmod{2022^n + 1}\]

Điều này có nghĩa là:
\[2022^{2r} \equiv 1 \pmod{2022^n + 1}\]

Vì \(0 < r < n\), nên \(2r < 2n\). Điều này mâu thuẫn với việc \(2022^{2r} \equiv 1 \pmod{2022^n + 1}\) vì \(2022^n + 1\) là số lớn hơn \(2022^{2r}\).

Do đó, giả thiết \(m\) không chia hết cho \(n\) là sai. Vậy \(m\) phải chia hết cho \(n\).

Bài toán được chứng minh.