Để pha chế 2 lít dung dịch NaOH 20% từ dung dịch NaOH 10% và NaOH 40%, chúng ta cần sử dụng phương pháp cân bằng khối lượng và nồng độ.

Trước tiên, ta cần xác định khối lượng của các dung dịch cần thiết.

1. **Tính khối lượng của dung dịch NaOH 20%:**
- Dung dịch NaOH 20% có khối lượng riêng (D) là 1,22 g/ml.
- Thể tích dung dịch cần pha là 2 lít (2000 ml).

Khối lượng của dung dịch NaOH 20%:
\[
m_{20\%} = D \times V = 1,22 \, \text{g/ml} \times 2000 \, \text{ml} = 2440 \, \text{g}
\]

2. **Tính khối lượng NaOH trong dung dịch NaOH 20%:**
- Nồng độ NaOH là 20%, nghĩa là 20% khối lượng của dung dịch là NaOH.

Khối lượng NaOH trong dung dịch 20%:
\[
m_{\text{NaOH, 20\%}} = 20\% \times 2440 \, \text{g} = 0,20 \times 2440 \, \text{g} = 488 \, \text{g}
\]

3. **Gọi \( V_1 \) là thể tích dung dịch NaOH 10% và \( V_2 \) là thể tích dung dịch NaOH 40% cần dùng.**

Khối lượng dung dịch NaOH 10%:
\[
m_{10\%} = D_{10\%} \times V_1 = 1,11 \, \text{g/ml} \times V_1
\]

Khối lượng NaOH trong dung dịch 10%:
\[
m_{\text{NaOH, 10\%}} = 10\% \times m_{10\%} = 0,10 \times 1,11 \times V_1 = 0,111 \times V_1
\]

Khối lượng dung dịch NaOH 40%:
\[
m_{40\%} = D_{40\%} \times V_2 = 1,44 \, \text{g/ml} \times V_2
\]

Khối lượng NaOH trong dung dịch 40%:
\[
m_{\text{NaOH, 40\%}} = 40\% \times m_{40\%} = 0,40 \times 1,44 \times V_2 = 0,576 \times V_2
\]

4. **Lập hệ phương trình:**

Tổng khối lượng dung dịch:
\[
m_{10\%} + m_{40\%} = 2440 \, \text{g}
\]
\[
1,11 \times V_1 + 1,44 \times V_2 = 2440
\]

Tổng khối lượng NaOH:
\[
m_{\text{NaOH, 10\%}} + m_{\text{NaOH, 40\%}} = 488 \, \text{g}
\]
\[
0,111 \times V_1 + 0,576 \times V_2 = 488
\]

5. **Giải hệ phương trình:**

Từ phương trình thứ nhất:
\[
1,11 \times V_1 + 1,44 \times V_2 = 2440
\]

Từ phương trình thứ hai:
\[
0,111 \times V_1 + 0,576 \times V_2 = 488
\]

Nhân phương trình thứ hai với 10:
\[
1,11 \times V_1 + 5,76 \times V_2 = 4880
\]

Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình đã nhân:
\[
5,76 \times V_2 - 1,44 \times V_2 = 4880 - 2440
\]
\[
4,32 \times V_2 = 2440
\]
\[
V_2 = \frac{2440}{4,32} \approx 564,81 \, \text{ml}
\]

Thay \( V_2 \) vào phương trình thứ nhất:
\[
1,11 \times V_1 + 1,44 \times 564,81 = 2440
\]
\[
1,11 \times V_1 + 813,33 = 2440
\]
\[
1,11 \times V_1 = 2440 - 813,33
\]
\[
V_1 = \frac{1626,67}{1,11} \approx 1465,47 \, \text{ml}
\]

Vậy, cần khoảng 1465,47 ml dung dịch NaOH 10% và 564,81 ml dung dịch NaOH 40% để pha thành 2 lít dung dịch NaOH 20%.