Để phân tích đa thức \( 27x^3 + \frac{y^3}{8} \) thành nhân tử, ta có thể làm như sau:

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng \( 27x^3 \) có thể viết lại dưới dạng \( (3x)^3 \) và \( \frac{y^3}{8} \) có thể viết lại dưới dạng \( \left(\frac{y}{2}\right)^3 \).

Như vậy, ta có:
\[ 27x^3 + \frac{y^3}{8} = (3x)^3 + \left(\frac{y}{2}\right)^3 \]

Sử dụng công thức hằng đẳng thức lập phương của tổng hai số:
\[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]

Trong đó, \( a = 3x \) và \( b = \frac{y}{2} \).

Áp dụng công thức trên, ta được:
\[ (3x)^3 + \left(\frac{y}{2}\right)^3 = \left(3x + \frac{y}{2}\right) \left((3x)^2 - 3x \cdot \frac{y}{2} + \left(\frac{y}{2}\right)^2\right) \]

Tính các biểu thức trong ngoặc:
\[ (3x)^2 = 9x^2 \]
\[ 3x \cdot \frac{y}{2} = \frac{3xy}{2} \]
\[ \left(\frac{y}{2}\right)^2 = \frac{y^2}{4} \]

Do đó, ta có:
\[ 27x^3 + \frac{y^3}{8} = \left(3x + \frac{y}{2}\right) \left(9x^2 - \frac{3xy}{2} + \frac{y^2}{4}\right) \]

Vậy, đa thức \( 27x^3 + \frac{y^3}{8} \) đã được phân tích thành nhân tử là:
\[ 27x^3 + \frac{y^3}{8} = \left(3x + \frac{y}{2}\right) \left(9x^2 - \frac{3xy}{2} + \frac{y^2}{4}\right) \]