Để giải hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
mx + y = 3 \\
4x + my = 6
\end{cases} \]

a) Giải hệ phương trình với \( m = -3 \):

Thay \( m = -3 \) vào hệ phương trình, ta có:
\[ \begin{cases}
-3x + y = 3 \\
4x - 3y = 6
\end{cases} \]

Giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số. Ta sẽ dùng phương pháp cộng đại số:

Nhân phương trình đầu tiên với 3:
\[ \begin{cases}
-3x + y = 3 \\
-9x + 3y = 9
\end{cases} \]

Sau đó trừ phương trình thứ hai cho phương trình đầu tiên:
\[ 4x - 3y - (-9x + 3y) = 6 - 9 \]
\[ 4x - 3y + 9x - 3y = -3 \]
\[ 13x = -3 \]
\[ x = -\frac{3}{13} \]

Thay \( x = -\frac{3}{13} \) vào phương trình đầu tiên:
\[ -3(-\frac{3}{13}) + y = 3 \]
\[ \frac{9}{13} + y = 3 \]
\[ y = 3 - \frac{9}{13} \]
\[ y = \frac{39}{13} - \frac{9}{13} \]
\[ y = \frac{30}{13} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình khi \( m = -3 \) là:
\[ x = -\frac{3}{13}, y = \frac{30}{13} \]

b) Tìm các giá trị của \( m \) để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn \( x > 1 \) và \( y > 0 \):

Giải hệ phương trình tổng quát:
\[ \begin{cases}
mx + y = 3 \\
4x + my = 6
\end{cases} \]

Từ phương trình đầu tiên, ta có:
\[ y = 3 - mx \]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[ 4x + m(3 - mx) = 6 \]
\[ 4x + 3m - m^2x = 6 \]
\[ (4 - m^2)x = 6 - 3m \]
\[ x = \frac{6 - 3m}{4 - m^2} \]

Thay \( x \) vào phương trình \( y = 3 - mx \):
\[ y = 3 - m \left(\frac{6 - 3m}{4 - m^2}\right) \]
\[ y = 3 - \frac{6m - 3m^2}{4 - m^2} \]
\[ y = \frac{3(4 - m^2) - (6m - 3m^2)}{4 - m^2} \]
\[ y = \frac{12 - 3m^2 - 6m + 3m^2}{4 - m^2} \]
\[ y = \frac{12 - 6m}{4 - m^2} \]
\[ y = \frac{6(2 - m)}{4 - m^2} \]

Để \( x > 1 \):
\[ \frac{6 - 3m}{4 - m^2} > 1 \]
\[ 6 - 3m > 4 - m^2 \]
\[ m^2 - 3m - 2 > 0 \]
\[ (m - 2)(m + 1) > 0 \]

Nghiệm của bất phương trình này là \( m < -1 \) hoặc \( m > 2 \).

Để \( y > 0 \):
\[ \frac{6(2 - m)}{4 - m^2} > 0 \]

Xét dấu của biểu thức:
- Tử số \( 6(2 - m) > 0 \) khi \( m < 2 \)
- Mẫu số \( 4 - m^2 > 0 \) khi \( -2 < m < 2 \)

Kết hợp các điều kiện:
\[ m < -1 \text{ hoặc } m > 2 \]

Vậy các giá trị của \( m \) để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn \( x > 1 \) và \( y > 0 \) là \( m > 2 \).