Để chứng minh rằng trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( EF \) thuộc một đường cố định khi điểm \( D \) di chuyển trên đoạn \( BM \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Xác định các điểm và đường thẳng liên quan:**
- Gọi \( M \) là điểm cố định trên đoạn \( BC \).
- Điểm \( D \) di chuyển trên đoạn \( BM \).
- Đường thẳng qua \( D \) song song với \( AM \) cắt \( AB \) tại \( E \) và cắt \( AC \) tại \( F \).

2. **Sử dụng tính chất đường song song:**
- Vì \( DE \parallel AM \) và \( DF \parallel AM \), theo định lý Talet, ta có:
\[
\frac{DE}{AM} = \frac{BD}{BM} \quad \text{và} \quad \frac{DF}{AM} = \frac{BD}{BM}
\]
- Điều này có nghĩa là các đoạn \( DE \) và \( DF \) tỉ lệ với đoạn \( AM \) theo cùng một tỉ lệ.

3. **Xác định trung điểm \( I \) của \( EF \):**
- Gọi \( I \) là trung điểm của \( EF \).
- Do \( DE \parallel AM \) và \( DF \parallel AM \), các đoạn \( DE \) và \( DF \) luôn có cùng độ dài và cùng hướng khi \( D \) di chuyển trên \( BM \).

4. **Chứng minh \( I \) thuộc một đường cố định:**
- Xét tam giác \( \triangle ABC \) và điểm \( M \) cố định trên \( BC \).
- Khi \( D \) di chuyển trên \( BM \), các điểm \( E \) và \( F \) di chuyển trên các đường thẳng \( AB \) và \( AC \) sao cho \( DE \parallel AM \) và \( DF \parallel AM \).
- Trung điểm \( I \) của \( EF \) sẽ luôn nằm trên đường trung bình của tam giác \( \triangle AEF \), tức là đường thẳng song song với \( AM \) và đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cố định trên \( AB \) và \( AC \).

5. **Kết luận:**
- Do \( M \) cố định và \( AM \) cố định, đường trung bình của tam giác \( \triangle AEF \) cũng cố định.
- Vì vậy, trung điểm \( I \) của \( EF \) luôn thuộc đường trung bình này, tức là thuộc một đường thẳng cố định khi \( D \) di chuyển trên đoạn \( BM \).

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( EF \) thuộc một đường cố định khi điểm \( D \) di chuyển trên đoạn \( BM \).