Một bể nước không có nước. Nếu hai vòi nước cùng chảy vào bể thì trong 3 giờ được 1/2 bể. Nếu chỉ mở vòi 1 chảy trong 4 giờ rồi mở vòi 2(tắt vòi 1) chảy trong 6 giờ thì được 4/5 bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu đầy bể

Để giải bài toán này, ta cần xác định lượng nước mà mỗi vòi chảy vào bể trong một giờ. Giả sử vòi 1 chảy một mình thì đầy bể trong \( x \) giờ, và vòi 2 chảy một mình thì đầy bể trong \( y \) giờ. Khi đó, lượng nước mà vòi 1 chảy vào bể trong 1 giờ là \( \frac{1}{x} \) bể, và lượng nước mà vòi 2 chảy vào bể trong 1 giờ là \( \frac{1}{y} \) bể.

### Bước 1: Thiết lập phương trình từ thông tin hai vòi cùng chảy
Khi cả hai vòi cùng chảy, trong 3 giờ được 1/2 bể:
\[ 3 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = \frac{1}{2} \]
Suy ra:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \]

### Bước 2: Thiết lập phương trình từ thông tin từng vòi chảy riêng
Nếu vòi 1 chảy trong 4 giờ rồi vòi 2 chảy trong 6 giờ thì được 4/5 bể:
\[ 4 \cdot \frac{1}{x} + 6 \cdot \frac{1}{y} = \frac{4}{5} \]

### Bước 3: Giải hệ phương trình
Ta có hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\
4 \cdot \frac{1}{x} + 6 \cdot \frac{1}{y} = \frac{4}{5}
\end{cases} \]

Đặt \( \frac{1}{x} = a \) và \( \frac{1}{y} = b \), ta có hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
a + b = \frac{1}{6} \\
4a + 6b = \frac{4}{5}
\end{cases} \]

Giải phương trình thứ nhất cho \( b \):
\[ b = \frac{1}{6} - a \]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[ 4a + 6 \left( \frac{1}{6} - a \right) = \frac{4}{5} \]
\[ 4a + 1 - 6a = \frac{4}{5} \]
\[ -2a + 1 = \frac{4}{5} \]
\[ -2a = \frac{4}{5} - 1 \]
\[ -2a = \frac{4}{5} - \frac{5}{5} \]
\[ -2a = -\frac{1}{5} \]
\[ a = \frac{1}{10} \]

Thay \( a = \frac{1}{10} \) vào phương trình \( b = \frac{1}{6} - a \):
\[ b = \frac{1}{6} - \frac{1}{10} \]
\[ b = \frac{5}{30} - \frac{3}{30} \]
\[ b = \frac{2}{30} \]
\[ b = \frac{1}{15} \]

Vậy:
\[ \frac{1}{x} = a = \frac{1}{10} \Rightarrow x = 10 \]
\[ \frac{1}{y} = b = \frac{1}{15} \Rightarrow y = 15 \]

### Kết luận
Vòi 1 chảy một mình thì đầy bể trong 10 giờ, và vòi 2 chảy một mình thì đầy bể trong 15 giờ.