Để tìm số tự nhiên \( n \) trong các bài toán lũy thừa, ta cần giải các phương trình sau:

**Bài 1: Tìm số tự nhiên \( n \) biết:**

a) \(\left(\frac{1}{5}\right)^n = \frac{1}{625}\)

Ta có thể viết lại phương trình dưới dạng lũy thừa của 5:
\[
\left(\frac{1}{5}\right)^n = \left(\frac{1}{5^4}\right)
\]
Do đó, \( n = 4 \).

b) \(\frac{32}{243} = \left(\frac{2}{3}\right)^n\)

Ta có thể viết lại phương trình dưới dạng lũy thừa của 2 và 3:
\[
\frac{2^5}{3^5} = \left(\frac{2}{3}\right)^5
\]
Do đó, \( n = 5 \).

**Bài 2: Tìm số tự nhiên \( n \) biết:**

a) \(125 \cdot 5^n = 5\)

Chia cả hai vế cho 5:
\[
125 \cdot 5^n = 5 \implies 5^3 \cdot 5^n = 5^1 \implies 5^{n+3} = 5^1
\]
Do đó, \( n + 3 = 1 \implies n = -2 \) (không phải số tự nhiên, có thể có lỗi trong đề bài).

b) \(\left(\frac{-7}{49}\right)^n = -343\)

Ta có thể viết lại phương trình dưới dạng lũy thừa của 7:
\[
\left(\frac{-7}{7^2}\right)^n = -7^3 \implies \left(\frac{-7}{49}\right)^n = -7^3 \implies \left(\frac{-7}{7^2}\right)^n = -7^3
\]
Do đó, \( n = 3 \).

c) \(216^n : 36^n = 6\)

Ta có thể viết lại phương trình dưới dạng lũy thừa của 6:
\[
\left(\frac{216}{36}\right)^n = 6 \implies 6^3 = 6^1 \implies 6^{3n} = 6^1
\]
Do đó, \( 3n = 1 \implies n = \frac{1}{3} \) (không phải số tự nhiên, có thể có lỗi trong đề bài).

Vậy các số tự nhiên \( n \) tìm được là:
- Bài 1: \( n = 4 \) và \( n = 5 \)
- Bài 2: \( n = 3 \)