Để chứng minh rằng \(\frac{a}{c} = \frac{(a + 2024b)^2}{(b + 2024c)^2}\) với điều kiện \(b^2 = ac\), ta thực hiện các bước sau:

1. **Điều kiện ban đầu:**
\[
b^2 = ac
\]

2. **Biến đổi biểu thức cần chứng minh:**
\[
\frac{a}{c} = \frac{(a + 2024b)^2}{(b + 2024c)^2}
\]

3. **Phân tích biểu thức:**
\[
\frac{a}{c} = \frac{(a + 2024b)^2}{(b + 2024c)^2}
\]

Ta sẽ chứng minh rằng:
\[
a(b + 2024c)^2 = c(a + 2024b)^2
\]

4. **Mở rộng hai vế của phương trình:**
\[
a(b + 2024c)^2 = a(b^2 + 2 \cdot 2024bc + (2024c)^2)
\]
\[
= a(b^2 + 4048bc + 2024^2c^2)
\]

\[
c(a + 2024b)^2 = c(a^2 + 2 \cdot 2024ab + (2024b)^2)
\]
\[
= c(a^2 + 4048ab + 2024^2b^2)
\]

5. **Thay thế \(b^2 = ac\) vào các biểu thức:**
\[
a(b^2 + 4048bc + 2024^2c^2) = a(ac + 4048bc + 2024^2c^2)
\]
\[
= a^2c + 4048abc + 2024^2ac^2
\]

\[
c(a^2 + 4048ab + 2024^2b^2) = c(a^2 + 4048ab + 2024^2ac)
\]
\[
= ca^2 + 4048abc + 2024^2ac^2
\]

6. **So sánh hai vế:**
\[
a^2c + 4048abc + 2024^2ac^2 = ca^2 + 4048abc + 2024^2ac^2
\]

Hai vế của phương trình này là bằng nhau, do đó:
\[
\frac{a}{c} = \frac{(a + 2024b)^2}{(b + 2024c)^2}
\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng \(\frac{a}{c} = \frac{(a + 2024b)^2}{(b + 2024c)^2}\) với điều kiện \(b^2 = ac\).