Để giải bài toán này, ta cần xác định số sản phẩm mà mỗi tổ sản xuất trong tháng đầu tiên và sau đó tính số sản phẩm mà mỗi tổ sản xuất trong tháng thứ hai dựa trên các thay đổi đã cho.

Gọi \( x \) là số sản phẩm tổ 1 sản xuất trong tháng đầu tiên và \( y \) là số sản phẩm tổ 2 sản xuất trong tháng đầu tiên. Theo đề bài, ta có hệ phương trình sau:

\[ x + y = 800 \]

Trong tháng thứ hai, tổ 1 sản xuất vượt 12% so với tháng đầu tiên, tức là sản xuất được \( x + 0.12x = 1.12x \) sản phẩm. Tổ 2 sản xuất giảm 10% so với tháng đầu tiên, tức là sản xuất được \( y - 0.1y = 0.9y \) sản phẩm. Tổng số sản phẩm của cả hai tổ trong tháng thứ hai là 786 sản phẩm, do đó ta có phương trình thứ hai:

\[ 1.12x + 0.9y = 786 \]

Bây giờ ta có hệ phương trình:

1. \( x + y = 800 \)
2. \( 1.12x + 0.9y = 786 \)

Giải hệ phương trình này:

Từ phương trình (1), ta có:

\[ y = 800 - x \]

Thay \( y \) vào phương trình (2):

\[ 1.12x + 0.9(800 - x) = 786 \]

Giải phương trình này:

\[ 1.12x + 720 - 0.9x = 786 \]

\[ 1.12x - 0.9x = 786 - 720 \]

\[ 0.22x = 66 \]

\[ x = \frac{66}{0.22} \]

\[ x = 300 \]

Thay \( x = 300 \) vào phương trình \( y = 800 - x \):

\[ y = 800 - 300 \]

\[ y = 500 \]

Vậy số sản phẩm mỗi tổ làm được trong tháng đầu tiên là:
- Tổ 1: 300 sản phẩm
- Tổ 2: 500 sản phẩm

Số sản phẩm mỗi tổ làm được trong tháng thứ hai là:
- Tổ 1: \( 1.12 \times 300 = 336 \) sản phẩm
- Tổ 2: \( 0.9 \times 500 = 450 \) sản phẩm

Vậy trong tháng thứ hai, tổ 1 sản xuất được 336 sản phẩm và tổ 2 sản xuất được 450 sản phẩm.