Cho tam giác ABC vuông tại A, D là trung điểm của BC và DE vuông góc AB tai E; DFL AC tail F AD = EF bị Trên tia đối lấy điểm H sao cho FH ED CMR: E là trung điểm của AC và ADCH là hình thoi c; CMR : AD. EF atong quy

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần:

a) Chứng minh \( E \) là trung điểm của \( AC \) và \( ADCH \) là hình thoi.

- Vì \( D \) là trung điểm của \( BC \), nên \( BD = DC \).
- \( DE \perp AB \) tại \( E \) và \( DF \perp AC \) tại \( F \).
- Theo giả thiết, \( AD = EF \).

Ta cần chứng minh \( E \) là trung điểm của \( AC \):
- Xét tam giác \( ADE \) và tam giác \( DFE \):
- \( AD = EF \) (giả thiết).
- \( DE \) là cạnh chung.
- \( \angle ADE = \angle EFD = 90^\circ \).

Do đó, tam giác \( ADE \) và tam giác \( DFE \) bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (SAS).

Vì \( E \) là điểm chung của hai tam giác, nên \( E \) là trung điểm của \( AC \).

Tiếp theo, chứng minh \( ADCH \) là hình thoi:
- Ta đã có \( AD = EF \).
- Lấy điểm \( H \) trên tia đối của \( F \) sao cho \( FH = ED \).

Do \( FH = ED \) và \( AD = EF \), ta có:
- \( AD = FH \).
- \( AD \parallel FH \) (vì \( DE \perp AB \) và \( DF \perp AC \)).

Từ đó, tứ giác \( ADCH \) có các cạnh bằng nhau và hai cặp cạnh đối song song, nên \( ADCH \) là hình thoi.

b) Chứng minh \( AD \cdot EF \) đồng quy.

- Vì \( AD = EF \) và \( AD \parallel EF \), nên hai đường thẳng này không cắt nhau tại một điểm nào khác ngoài điểm \( D \).

Do đó, \( AD \cdot EF \) đồng quy tại điểm \( D \).

Vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.