Để giải câu 4, ta cần tính \(\cos(\alpha - \beta)\) và \(\sin(\alpha + \beta)\) dựa trên các điều kiện đã cho:

1. \(\sin \alpha + \sin \beta = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
2. \(\cos \alpha + \cos \beta = \frac{\sqrt{6}}{2}\)

### Tính \(\cos(\alpha - \beta)\)

Sử dụng công thức cộng góc cho cos:
\[
\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta
\]

Để tính được \(\cos(\alpha - \beta)\), ta cần biết \(\cos \alpha \cos \beta\) và \(\sin \alpha \sin \beta\).

Ta có:
\[
(\sin \alpha + \sin \beta)^2 = \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + 2 \sin \alpha \sin \beta
\]
\[
\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + 2 \sin \alpha \sin \beta
\]
\[
\frac{2}{4} = \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + 2 \sin \alpha \sin \beta
\]
\[
\frac{1}{2} = \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + 2 \sin \alpha \sin \beta
\]

Tương tự:
\[
(\cos \alpha + \cos \beta)^2 = \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + 2 \cos \alpha \cos \beta
\]
\[
\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 = \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + 2 \cos \alpha \cos \beta
\]
\[
\frac{6}{4} = \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + 2 \cos \alpha \cos \beta
\]
\[
\frac{3}{2} = \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + 2 \cos \alpha \cos \beta
\]

Ta biết rằng:
\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \quad \text{và} \quad \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1
\]

Do đó:
\[
\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta = 2
\]

Từ các phương trình trên, ta có:
\[
\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2 + 2 (\sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta)
\]
\[
2 = 2 + 2 (\sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta)
\]
\[
0 = 2 (\sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta)
\]
\[
\sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta = 0
\]

Vậy:
\[
\cos(\alpha - \beta) = 0
\]

### Tính \(\sin(\alpha + \beta)\)

Sử dụng công thức cộng góc cho sin:
\[
\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta
\]

Ta có:
\[
(\sin \alpha + \sin \beta)^2 = \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + 2 \sin \alpha \sin \beta
\]
\[
\frac{1}{2} = \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + 2 \sin \alpha \sin \beta
\]

Và:
\[
(\cos \alpha + \cos \beta)^2 = \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + 2 \cos \alpha \cos \beta
\]
\[
\frac{3}{2} = \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + 2 \cos \alpha \cos \beta
\]

Từ đó:
\[
\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta = 2
\]

Do đó:
\[
\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Vậy:
\[
\sin(\alpha + \beta) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Tóm lại:
\[
\cos(\alpha - \beta) = 0
\]
\[
\sin(\alpha + \beta) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]