Để tính tổng của các phân số này một cách thuận tiện, chúng ta có thể tìm mẫu số chung của các phân số hoặc nhận xét các mẫu số để tìm ra cách tính nhanh hơn. Tuy nhiên, trong trường hợp này, các mẫu số khá phức tạp, nên chúng ta sẽ tính từng bước một cách cẩn thận.

Dưới đây là các phân số cần tính:
\[ \frac{1}{3} + \frac{3}{7} + \frac{1}{2 \cdot 7} + \frac{5}{2 \cdot 13} + \frac{3}{13 \cdot 4} + \frac{5}{4 \cdot 21} + \frac{3}{21 \cdot 6} \]

Trước tiên, chúng ta sẽ tính các phân số có mẫu số là tích của hai số:

1. \(\frac{1}{2 \cdot 7} = \frac{1}{14}\)
2. \(\frac{5}{2 \cdot 13} = \frac{5}{26}\)
3. \(\frac{3}{13 \cdot 4} = \frac{3}{52}\)
4. \(\frac{5}{4 \cdot 21} = \frac{5}{84}\)
5. \(\frac{3}{21 \cdot 6} = \frac{3}{126}\)

Bây giờ, chúng ta có các phân số sau:
\[ \frac{1}{3}, \frac{3}{7}, \frac{1}{14}, \frac{5}{26}, \frac{3}{52}, \frac{5}{84}, \frac{3}{126} \]

Để cộng các phân số này, chúng ta cần tìm mẫu số chung. Mẫu số chung nhỏ nhất (LCM) của các mẫu số này là 3276.

Chúng ta sẽ quy đồng các phân số về mẫu số chung 3276:

1. \(\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 1092}{3 \cdot 1092} = \frac{1092}{3276}\)
2. \(\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 468}{7 \cdot 468} = \frac{1404}{3276}\)
3. \(\frac{1}{14} = \frac{1 \cdot 234}{14 \cdot 234} = \frac{234}{3276}\)
4. \(\frac{5}{26} = \frac{5 \cdot 126}{26 \cdot 126} = \frac{630}{3276}\)
5. \(\frac{3}{52} = \frac{3 \cdot 63}{52 \cdot 63} = \frac{189}{3276}\)
6. \(\frac{5}{84} = \frac{5 \cdot 39}{84 \cdot 39} = \frac{195}{3276}\)
7. \(\frac{3}{126} = \frac{3 \cdot 26}{126 \cdot 26} = \frac{78}{3276}\)

Bây giờ, chúng ta cộng các tử số lại:
\[ 1092 + 1404 + 234 + 630 + 189 + 195 + 78 = 3822 \]

Vậy tổng của các phân số là:
\[ \frac{3822}{3276} \]

Chúng ta có thể rút gọn phân số này. Chia cả tử số và mẫu số cho 6:
\[ \frac{3822 \div 6}{3276 \div 6} = \frac{637}{546} \]

Phân số này có thể rút gọn thêm nữa. Chia cả tử số và mẫu số cho 7:
\[ \frac{637 \div 7}{546 \div 7} = \frac{91}{78} \]

Phân số này không thể rút gọn thêm nữa. Vậy kết quả cuối cùng là:
\[ \frac{91}{78} \]

Hoặc dưới dạng hỗn số:
\[ 1 \frac{13}{78} \]