Để giải bài toán này, ta cần lập hệ phương trình dựa trên các thông tin đã cho.

Gọi \( x \) là số ngày người thứ nhất làm một mình xong công việc, và \( y \) là số ngày người thứ hai làm một mình xong công việc.

1. Khi hai người cùng làm, họ hoàn thành công việc trong 6 ngày:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \]

2. Người thứ nhất làm 4 ngày, người thứ hai làm tiếp 6 ngày thì hoàn thành được \(\frac{4}{5}\) công việc:
\[ 4 \cdot \frac{1}{x} + 6 \cdot \frac{1}{y} = \frac{4}{5} \]

Ta có hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\
4 \cdot \frac{1}{x} + 6 \cdot \frac{1}{y} = \frac{4}{5}
\end{cases} \]

Để giải hệ phương trình này, ta có thể đặt \( \frac{1}{x} = a \) và \( \frac{1}{y} = b \). Khi đó, hệ phương trình trở thành:
\[ \begin{cases}
a + b = \frac{1}{6} \\
4a + 6b = \frac{4}{5}
\end{cases} \]

Giải phương trình thứ nhất để tìm \( b \):
\[ b = \frac{1}{6} - a \]

Thay \( b \) vào phương trình thứ hai:
\[ 4a + 6 \left( \frac{1}{6} - a \right) = \frac{4}{5} \]
\[ 4a + 1 - 6a = \frac{4}{5} \]
\[ -2a + 1 = \frac{4}{5} \]
\[ -2a = \frac{4}{5} - 1 \]
\[ -2a = \frac{4}{5} - \frac{5}{5} \]
\[ -2a = -\frac{1}{5} \]
\[ a = \frac{1}{10} \]

Vậy \( \frac{1}{x} = a = \frac{1}{10} \) nên \( x = 10 \).

Thay \( a = \frac{1}{10} \) vào phương trình \( b = \frac{1}{6} - a \):
\[ b = \frac{1}{6} - \frac{1}{10} \]
\[ b = \frac{5}{30} - \frac{3}{30} \]
\[ b = \frac{2}{30} \]
\[ b = \frac{1}{15} \]

Vậy \( \frac{1}{y} = b = \frac{1}{15} \) nên \( y = 15 \).

Kết luận: Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất sẽ hoàn thành công việc trong 10 ngày và người thứ hai sẽ hoàn thành công việc trong 15 ngày.