Cho hình chóp tứ giác đều có diện tích xung quanh bằng 1/2 diện tích toàn phần

Để chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp tứ giác đều là các tam giác vuông cân, ta sẽ bắt đầu bằng cách sử dụng các thông tin đã cho và các tính chất của hình chóp tứ giác đều.

Giả sử hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông \( ABCD \) và đỉnh là \( S \). Gọi cạnh của hình vuông đáy là \( a \) và chiều cao của hình chóp là \( h \). Gọi \( M \) là trung điểm của cạnh \( AB \).

1. **Diện tích xung quanh của hình chóp:**

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều là tổng diện tích của bốn tam giác \( SAB, SBC, SCD, SDA \). Vì hình chóp đều nên các tam giác này có diện tích bằng nhau.

Gọi \( l \) là độ dài cạnh bên của hình chóp (đoạn \( SA \)). Diện tích của một tam giác \( SAB \) là:
\[ \text{Diện tích } \triangle SAB = \frac{1}{2} \times AB \times SM \]

Vì \( M \) là trung điểm của \( AB \), nên \( SM \) là đường cao từ \( S \) đến \( AB \). Ta có:
\[ SM = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{l^2 - \frac{a^2}{4}} \]

Do đó, diện tích của một tam giác \( SAB \) là:
\[ \text{Diện tích } \triangle SAB = \frac{1}{2} \times a \times \sqrt{l^2 - \frac{a^2}{4}} \]

Diện tích xung quanh của hình chóp là:
\[ \text{Diện tích xung quanh} = 4 \times \frac{1}{2} \times a \times \sqrt{l^2 - \frac{a^2}{4}} = 2a \sqrt{l^2 - \frac{a^2}{4}} \]

2. **Diện tích toàn phần của hình chóp:**

Diện tích toàn phần của hình chóp là tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy. Diện tích đáy là:
\[ \text{Diện tích đáy} = a^2 \]

Do đó, diện tích toàn phần là:
\[ \text{Diện tích toàn phần} = 2a \sqrt{l^2 - \frac{a^2}{4}} + a^2 \]

Theo giả thiết, diện tích xung quanh bằng 1/2 diện tích toàn phần:
\[ 2a \sqrt{l^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{1}{2} \left( 2a \sqrt{l^2 - \frac{a^2}{4}} + a^2 \right) \]

Nhân cả hai vế với 2:
\[ 4a \sqrt{l^2 - \frac{a^2}{4}} = 2a \sqrt{l^2 - \frac{a^2}{4}} + a^2 \]

Chuyển vế và rút gọn:
\[ 2a \sqrt{l^2 - \frac{a^2}{4}} = a^2 \]
\[ 2 \sqrt{l^2 - \frac{a^2}{4}} = a \]
\[ \sqrt{l^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{a}{2} \]

Bình phương hai vế:
\[ l^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{4} \]
\[ l^2 = \frac{a^2}{2} \]
\[ l = \frac{a\sqrt{2}}{2} \]

3. **Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông cân:**

Ta đã có \( l = \frac{a\sqrt{2}}{2} \). Xét tam giác \( SAB \), ta có:
\[ SA = SB = l = \frac{a\sqrt{2}}{2} \]
\[ AB = a \]

Ta cần chứng minh tam giác \( SAB \) vuông tại \( S \). Ta kiểm tra điều kiện vuông góc:
\[ SA^2 + SB^2 = AB^2 \]
\[ \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = a^2 \]
\[ \frac{a^2 \cdot 2}{4} + \frac{a^2 \cdot 2}{4} = a^2 \]
\[ \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} = a^2 \]
\[ a^2 = a^2 \]

Điều này chứng tỏ tam giác \( SAB \) vuông tại \( S \). Vì \( SA = SB \), tam giác \( SAB \) là tam giác vuông cân.

Tương tự, các tam giác \( SBC, SCD, SDA \) cũng là các tam giác vuông cân.

Vậy, các mặt bên của hình chóp tứ giác đều là các tam giác vuông cân.