Cho hình chóp tứ giác đều có diện tích xung quanh bằng 1/2 diện tích toàn phần

Để chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp tứ giác đều là các tam giác vuông cân, ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho và các tính chất của hình chóp tứ giác đều.

Giả sử hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông \( ABCD \) và đỉnh là \( S \). Gọi cạnh của hình vuông đáy là \( a \) và chiều cao của hình chóp là \( h \). Gọi \( M \) là trung điểm của cạnh \( AB \).

1. **Diện tích xung quanh của hình chóp:**

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều là tổng diện tích của bốn tam giác \( SAB, SBC, SCD, SDA \). Vì hình chóp là đều, các tam giác này có diện tích bằng nhau.

Diện tích của một tam giác \( SAB \) là:
\[ \text{Diện tích của } \triangle SAB = \frac{1}{2} \times AB \times SM \]

Trong đó, \( AB = a \) và \( SM \) là chiều cao của tam giác \( SAB \). Do \( M \) là trung điểm của \( AB \), \( SM \) là đường cao từ \( S \) đến \( AB \).

Ta có thể tính \( SM \) bằng cách sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \( SMO \), với \( O \) là tâm của hình vuông \( ABCD \) (giao điểm của các đường chéo):
\[ SO^2 = SM^2 + MO^2 \]
\[ h^2 = SM^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]
\[ SM^2 = h^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]
\[ SM = \sqrt{h^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} \]

Diện tích của một tam giác \( SAB \) là:
\[ \text{Diện tích của } \triangle SAB = \frac{1}{2} \times a \times \sqrt{h^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} \]

Diện tích xung quanh của hình chóp là:
\[ \text{Diện tích xung quanh} = 4 \times \frac{1}{2} \times a \times \sqrt{h^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = 2a \sqrt{h^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} \]

2. **Diện tích toàn phần của hình chóp:**

Diện tích toàn phần của hình chóp là tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy:
\[ \text{Diện tích toàn phần} = \text{Diện tích xung quanh} + \text{Diện tích đáy} \]
\[ \text{Diện tích đáy} = a^2 \]
\[ \text{Diện tích toàn phần} = 2a \sqrt{h^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} + a^2 \]

Theo giả thiết, diện tích xung quanh bằng 1/2 diện tích toàn phần:
\[ 2a \sqrt{h^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{1}{2} \left(2a \sqrt{h^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} + a^2 \right) \]

Nhân cả hai vế với 2:
\[ 4a \sqrt{h^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = 2a \sqrt{h^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} + a^2 \]

Chuyển vế và rút gọn:
\[ 2a \sqrt{h^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = a^2 \]
\[ 2 \sqrt{h^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = a \]
\[ \sqrt{h^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a}{2} \]

Bình phương hai vế:
\[ h^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]
\[ h^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{4} \]
\[ h^2 = \frac{a^2}{2} \]
\[ h = \frac{a\sqrt{2}}{2} \]

3. **Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông cân:**

Xét tam giác \( SAB \), ta có:
\[ SM = \sqrt{h^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{4}} = \frac{a}{2} \]

Do đó, tam giác \( SAB \) có \( SM = \frac{a}{2} \) và \( AB = a \), nên tam giác \( SAB \) là tam giác vuông cân tại \( S \).

Tương tự, các tam giác \( SBC, SCD, SDA \) cũng là các tam giác vuông cân.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng các mặt bên của hình chóp tứ giác đều là các tam giác vuông cân.