Cho biểu thức \( Q = \frac{3}{x+3} + \frac{1}{x-3} + \frac{18}{9-x^2} \).

a) Tìm điều kiện xác định của \( Q \) và rút gọn biểu thức \( Q \).

Điều kiện xác định của \( Q \) là các mẫu số khác 0:
- \( x + 3 \neq 0 \) => \( x \neq -3 \)
- \( x - 3 \neq 0 \) => \( x \neq 3 \)
- \( 9 - x^2 \neq 0 \) => \( x \neq \pm 3 \)

Vậy điều kiện xác định của \( Q \) là \( x \neq \pm 3 \).

Rút gọn biểu thức \( Q \):
Ta có \( 9 - x^2 = (3 - x)(3 + x) \).

Biểu thức \( Q \) trở thành:
\[ Q = \frac{3}{x+3} + \frac{1}{x-3} + \frac{18}{(3-x)(3+x)} \]
\[ Q = \frac{3}{x+3} + \frac{1}{x-3} + \frac{18}{(3-x)(3+x)} \]
\[ Q = \frac{3}{x+3} + \frac{1}{x-3} + \frac{18}{-(x-3)(x+3)} \]
\[ Q = \frac{3}{x+3} + \frac{1}{x-3} - \frac{18}{(x-3)(x+3)} \]

Ta có thể viết lại:
\[ Q = \frac{3}{x+3} + \frac{1}{x-3} - \frac{18}{(x-3)(x+3)} \]
\[ Q = \frac{3(x-3) + 1(x+3) - 18}{(x+3)(x-3)} \]
\[ Q = \frac{3x - 9 + x + 3 - 18}{(x+3)(x-3)} \]
\[ Q = \frac{4x - 24}{(x+3)(x-3)} \]
\[ Q = \frac{4(x - 6)}{(x+3)(x-3)} \]
\[ Q = \frac{4}{x-3} \]

b) Tính giá trị của \( Q \) tại \( x = 1 \).

Thay \( x = 1 \) vào biểu thức đã rút gọn:
\[ Q = \frac{4}{1-3} \]
\[ Q = \frac{4}{-2} \]
\[ Q = -2 \]

c) Xét biểu thức \( R = Q \cdot x \). Chứng minh \( R = 4 + \frac{12}{x-3} \). Từ đó tìm tất cả các giá trị nguyên của \( x \) sao cho biểu thức \( R \) nhận giá trị nguyên.

Ta có \( Q = \frac{4}{x-3} \), do đó:
\[ R = Q \cdot x = \frac{4x}{x-3} \]

Ta cần chứng minh:
\[ R = 4 + \frac{12}{x-3} \]

Ta có:
\[ \frac{4x}{x-3} = 4 + \frac{12}{x-3} \]
\[ \frac{4x}{x-3} = \frac{4(x-3) + 12}{x-3} \]
\[ \frac{4x}{x-3} = \frac{4x - 12 + 12}{x-3} \]
\[ \frac{4x}{x-3} = \frac{4x}{x-3} \]

Vậy \( R = 4 + \frac{12}{x-3} \).

Để \( R \) nhận giá trị nguyên, \( \frac{12}{x-3} \) phải là một số nguyên. Do đó, \( x-3 \) phải là một ước của 12. Các ước của 12 là: \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12 \).

Vậy các giá trị của \( x \) là:
\[ x - 3 = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12 \]
\[ x = 4, 2, 5, 1, 6, 0, 7, -1, 9, -3, 15, -9 \]

Loại \( x = 3 \) vì không thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy các giá trị nguyên của \( x \) là:
\[ x = 4, 2, 5, 1, 6, 0, 7, -1, 9, -9 \]