Để chứng minh \( MN \parallel (ABB'A') \), ta cần chứng minh rằng đường thẳng \( MN \) song song với mặt phẳng \( (ABB'A') \).

1. **Xác định các điểm và mặt phẳng:**
- \( M \) là trung điểm của \( A'C' \).
- \( N \) là trung điểm của \( BC \).
- Mặt phẳng \( (ABB'A') \) chứa các điểm \( A, B, B', A' \).

2. **Xét các vector:**
- Gọi \( \vec{A'C'} \) là vector từ \( A' \) đến \( C' \).
- Gọi \( \vec{BC} \) là vector từ \( B \) đến \( C \).

3. **Tìm vector \( \vec{MN} \):**
- Vì \( M \) là trung điểm của \( A'C' \), ta có \( \vec{M} = \frac{\vec{A'} + \vec{C'}}{2} \).
- Vì \( N \) là trung điểm của \( BC \), ta có \( \vec{N} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} \).
- Vector \( \vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} - \frac{\vec{A'} + \vec{C'}}{2} = \frac{\vec{B} + \vec{C} - \vec{A'} - \vec{C'}}{2} \).

4. **Chứng minh \( MN \parallel (ABB'A') \):**
- Mặt phẳng \( (ABB'A') \) chứa các vector \( \vec{AB} \) và \( \vec{AA'} \).
- Ta cần chứng minh rằng vector \( \vec{MN} \) có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vector \( \vec{AB} \) và \( \vec{AA'} \).

5. **Biểu diễn vector \( \vec{MN} \):**
- Vector \( \vec{MN} = \frac{\vec{B} + \vec{C} - \vec{A'} - \vec{C'}}{2} \).
- Ta có thể viết lại \( \vec{MN} \) như sau:
\[
\vec{MN} = \frac{1}{2} (\vec{B} - \vec{A'}) + \frac{1}{2} (\vec{C} - \vec{C'})
\]
- Chú ý rằng \( \vec{C} - \vec{C'} \) là một vector song song với \( \vec{CC'} \), và \( \vec{B} - \vec{A'} \) là một vector song song với \( \vec{BA'} \).

6. **Kết luận:**
- Vì \( \vec{MN} \) có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vector song song với các vector trong mặt phẳng \( (ABB'A') \), nên \( \vec{MN} \) song song với mặt phẳng \( (ABB'A') \).
- Do đó, ta có \( MN \parallel (ABB'A') \).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( MN \parallel (ABB'A') \).