Cho a + b + c ≤ √3. Chứng minh rằng: 1/a^2 + b^2 + c^2 + 5/ab + bc + ca ≥ 2

Để chứng minh bất đẳng thức \( \frac{1}{a^2 + b^2 + c^2} + \frac{5}{ab + bc + ca} \geq 2 \) với điều kiện \( a + b + c \leq \sqrt{3} \), ta có thể sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản và các kỹ thuật biến đổi đại số.

Trước hết, ta cần lưu ý rằng \( a, b, c \) là các số dương.

### Bước 1: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM

Ta có bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Mean - Geometric Mean Inequality):

\[ a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca \]

### Bước 2: Sử dụng điều kiện \( a + b + c \leq \sqrt{3} \)

Ta có:

\[ (a + b + c)^2 \leq 3 \]

Mở rộng vế trái:

\[ a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \leq 3 \]

Suy ra:

\[ a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \leq 3 \]

### Bước 3: Đặt \( x = a^2 + b^2 + c^2 \) và \( y = ab + bc + ca \)

Từ bất đẳng thức trên, ta có:

\[ x + 2y \leq 3 \]

### Bước 4: Chứng minh bất đẳng thức cần chứng minh

Ta cần chứng minh:

\[ \frac{1}{x} + \frac{5}{y} \geq 2 \]

Sử dụng \( x + 2y \leq 3 \), ta có thể viết lại dưới dạng:

\[ x \leq 3 - 2y \]

Do đó:

\[ \frac{1}{x} \geq \frac{1}{3 - 2y} \]

Bây giờ, ta cần chứng minh:

\[ \frac{1}{3 - 2y} + \frac{5}{y} \geq 2 \]

### Bước 5: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các số dương \( a, b, c \):

\[ (a^2 + b^2 + c^2)(1^2 + 1^2 + 1^2) \geq (a + b + c)^2 \]

Suy ra:

\[ 3(a^2 + b^2 + c^2) \geq (a + b + c)^2 \]

Do \( a + b + c \leq \sqrt{3} \), ta có:

\[ 3(a^2 + b^2 + c^2) \geq 3 \]

Suy ra:

\[ a^2 + b^2 + c^2 \geq 1 \]

Do đó:

\[ x \geq 1 \]

### Bước 6: Kết hợp các bất đẳng thức

Từ \( x \geq 1 \) và \( x + 2y \leq 3 \), ta có:

\[ \frac{1}{x} \leq 1 \]

Và:

\[ \frac{5}{y} \geq \frac{5}{3 - x} \]

Do \( x \geq 1 \), ta có:

\[ 3 - x \leq 2 \]

Do đó:

\[ \frac{5}{y} \geq \frac{5}{2} \]

Kết hợp lại, ta có:

\[ \frac{1}{x} + \frac{5}{y} \geq 1 + \frac{5}{2} = 3.5 \]

Điều này chứng tỏ rằng:

\[ \frac{1}{a^2 + b^2 + c^2} + \frac{5}{ab + bc + ca} \geq 2 \]

Vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức cần chứng minh.