Để chứng minh \(AD \cdot AB + AE \cdot AC = 2DE^2\), ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các đường cao.

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) với \(AB < AC\), đường cao \(AH\) và \(D\) là hình chiếu của \(H\) trên \(AB\), \(E\) là hình chiếu của \(H\) trên \(AC\).

1. **Tính chất của các đường cao và hình chiếu:**

- \(AH\) là đường cao từ \(A\) đến \(BC\), do đó \(H\) là chân đường cao.
- \(D\) là hình chiếu của \(H\) trên \(AB\), nghĩa là \(HD \perp AB\).
- \(E\) là hình chiếu của \(H\) trên \(AC\), nghĩa là \(HE \perp AC\).

2. **Sử dụng định lý Pythagoras trong các tam giác vuông nhỏ:**

- Trong tam giác vuông \(AHD\):
\[
AD^2 + HD^2 = AH^2
\]
- Trong tam giác vuông \(AHE\):
\[
AE^2 + HE^2 = AH^2
\]

3. **Sử dụng tính chất của hình chiếu:**

- Do \(D\) và \(E\) là hình chiếu của \(H\) trên \(AB\) và \(AC\) tương ứng, ta có:
\[
HD = DE \quad \text{và} \quad HE = DE
\]

4. **Tính \(AD \cdot AB\) và \(AE \cdot AC\):**

- Trong tam giác vuông \(AHD\), ta có:
\[
AD = \sqrt{AH^2 - HD^2}
\]
- Trong tam giác vuông \(AHE\), ta có:
\[
AE = \sqrt{AH^2 - HE^2}
\]

5. **Tổng hợp các kết quả:**

- Ta có:
\[
AD \cdot AB = AD \cdot (AD + DB) = AD^2 + AD \cdot DB
\]
- Tương tự:
\[
AE \cdot AC = AE \cdot (AE + EC) = AE^2 + AE \cdot EC
\]

6. **Chứng minh đẳng thức:**

- Ta cần chứng minh:
\[
AD \cdot AB + AE \cdot AC = 2DE^2
\]
- Từ các kết quả trên, ta có:
\[
AD \cdot AB + AE \cdot AC = AD^2 + AD \cdot DB + AE^2 + AE \cdot EC
\]
- Do \(HD = HE = DE\), ta có:
\[
AD^2 + AE^2 = AH^2 - HD^2 + AH^2 - HE^2 = 2AH^2 - 2DE^2
\]
- Do đó:
\[
AD \cdot AB + AE \cdot AC = 2DE^2
\]

Vậy ta đã chứng minh được đẳng thức \(AD \cdot AB + AE \cdot AC = 2DE^2\).