Để giải hệ phương trình và biện luận hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
mx - y = m \quad (1) \\
x + y = 2 \quad (2)
\end{cases}
\]

Ta thực hiện các bước sau:

1. **Giải phương trình (2) theo y:**

\[
y = 2 - x \quad (3)
\]

2. **Thay y từ phương trình (3) vào phương trình (1):**

\[
mx - (2 - x) = m
\]

3. **Giải phương trình trên:**

\[
mx - 2 + x = m
\]

\[
(m + 1)x - 2 = m
\]

\[
(m + 1)x = m + 2
\]

\[
x = \frac{m + 2}{m + 1} \quad (4)
\]

4. **Thay x từ phương trình (4) vào phương trình (3):**

\[
y = 2 - \frac{m + 2}{m + 1}
\]

\[
y = \frac{2(m + 1) - (m + 2)}{m + 1}
\]

\[
y = \frac{2m + 2 - m - 2}{m + 1}
\]

\[
y = \frac{m}{m + 1} \quad (5)
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

\[
\begin{cases}
x = \frac{m + 2}{m + 1} \\
y = \frac{m}{m + 1}
\end{cases}
\]

5. **Biện luận:**

- Khi \( m \neq -1 \): Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \( \left( \frac{m + 2}{m + 1}, \frac{m}{m + 1} \right) \).

- Khi \( m = -1 \): Phương trình (1) trở thành \( -x - y = -1 \) hay \( x + y = 1 \). Phương trình (2) là \( x + y = 2 \). Khi đó, hệ phương trình vô nghiệm vì \( 1 \neq 2 \).

Tóm lại, hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi \( m \neq -1 \) và vô nghiệm khi \( m = -1 \).