Chúng ta cần tìm số tự nhiên \( n \) thỏa mãn các điều kiện sau:

1. \( n(n-9) \) chia hết cho \( n+2 \)
2. \( n+5 \) chia hết cho \( n-7 \)
3. \( 2n-7 \) chia hết cho \( n-1 \)
4. \( 4n+1 \) chia hết cho \( n+2 \)
5. \( 5n-2 \) chia hết cho \( n+3 \)

Chúng ta sẽ giải từng điều kiện một.

### Điều kiện 1: \( n(n-9) \) chia hết cho \( n+2 \)
Điều này có nghĩa là \( n(n-9) \equiv 0 \pmod{n+2} \).

Ta có:
\[ n(n-9) = n^2 - 9n \]

Vì \( n \equiv -2 \pmod{n+2} \), thay \( n = -2 \) vào biểu thức:
\[ (-2)^2 - 9(-2) = 4 + 18 = 22 \]

Vậy \( 22 \equiv 0 \pmod{n+2} \), tức là \( n+2 \) phải là ước của 22. Các ước của 22 là \( \pm 1, \pm 2, \pm 11, \pm 22 \).

Do \( n \) là số tự nhiên, nên \( n+2 \) là số dương và \( n+2 \geq 1 \). Vậy các giá trị có thể của \( n+2 \) là 1, 2, 11, 22. Từ đó, ta có các giá trị của \( n \) là \( -1, 0, 9, 20 \). Tuy nhiên, chỉ có \( n = 9 \) và \( n = 20 \) là số tự nhiên.

### Điều kiện 2: \( n+5 \) chia hết cho \( n-7 \)
Điều này có nghĩa là \( n+5 \equiv 0 \pmod{n-7} \).

Ta có:
\[ n+5 = k(n-7) \]

Với \( n = 9 \):
\[ 9 + 5 = 14 \]
\[ 14 \div (9-7) = 14 \div 2 = 7 \]

Với \( n = 20 \):
\[ 20 + 5 = 25 \]
\[ 25 \div (20-7) = 25 \div 13 \]

Vậy \( n = 20 \) không thỏa mãn điều kiện này. Chỉ có \( n = 9 \) thỏa mãn.

### Điều kiện 3: \( 2n-7 \) chia hết cho \( n-1 \)
Điều này có nghĩa là \( 2n-7 \equiv 0 \pmod{n-1} \).

Với \( n = 9 \):
\[ 2(9) - 7 = 18 - 7 = 11 \]
\[ 11 \div (9-1) = 11 \div 8 \]

Vậy \( n = 9 \) không thỏa mãn điều kiện này.

### Điều kiện 4: \( 4n+1 \) chia hết cho \( n+2 \)
Điều này có nghĩa là \( 4n+1 \equiv 0 \pmod{n+2} \).

Với \( n = 9 \):
\[ 4(9) + 1 = 36 + 1 = 37 \]
\[ 37 \div (9+2) = 37 \div 11 \]

Vậy \( n = 9 \) không thỏa mãn điều kiện này.

### Điều kiện 5: \( 5n-2 \) chia hết cho \( n+3 \)
Điều này có nghĩa là \( 5n-2 \equiv 0 \pmod{n+3} \).

Với \( n = 9 \):
\[ 5(9) - 2 = 45 - 2 = 43 \]
\[ 43 \div (9+3) = 43 \div 12 \]

Vậy \( n = 9 \) không thỏa mãn điều kiện này.

Kết luận: Không có số tự nhiên \( n \) nào thỏa mãn tất cả các điều kiện đã cho.