Để giải thích tại sao \( M = (9a + 11b)(5b + 11a) \) chia hết cho 361 khi \( M \) chia hết cho 19, ta cần sử dụng một số tính chất của số học modulo.

Trước hết, ta biết rằng 361 = 19^2. Do đó, để chứng minh \( M \) chia hết cho 361, ta cần chứng minh rằng \( M \) chia hết cho 19 và 19^2.

Ta đã biết rằng \( M \) chia hết cho 19. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra xem \( M \) có chia hết cho 19^2 hay không.

Xét modulo 19, ta có:
\[ M \equiv (9a + 11b)(5b + 11a) \pmod{19} \]

Ta sẽ sử dụng định lý Fermat nhỏ, theo đó nếu \( p \) là số nguyên tố và \( a \) là số nguyên không chia hết cho \( p \), thì \( a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \). Ở đây, \( p = 19 \), do đó:
\[ a^{18} \equiv 1 \pmod{19} \]
và
\[ b^{18} \equiv 1 \pmod{19} \]

Bây giờ, ta sẽ kiểm tra các hệ số của \( 9a + 11b \) và \( 5b + 11a \) modulo 19:
- \( 9a \equiv 9a \pmod{19} \)
- \( 11b \equiv 11b \pmod{19} \)
- \( 5b \equiv 5b \pmod{19} \)
- \( 11a \equiv 11a \pmod{19} \)

Do đó:
\[ 9a + 11b \equiv 9a + 11b \pmod{19} \]
và
\[ 5b + 11a \equiv 5b + 11a \pmod{19} \]

Vì \( M \) chia hết cho 19, nên:
\[ (9a + 11b)(5b + 11a) \equiv 0 \pmod{19} \]

Điều này có nghĩa là ít nhất một trong hai biểu thức \( 9a + 11b \) hoặc \( 5b + 11a \) phải chia hết cho 19. Giả sử \( 9a + 11b \equiv 0 \pmod{19} \), tức là:
\[ 9a + 11b \equiv 0 \pmod{19} \]

Khi đó:
\[ 9a \equiv -11b \pmod{19} \]
\[ 9a \equiv 8b \pmod{19} \] (vì \(-11 \equiv 8 \pmod{19}\))

Do đó:
\[ a \equiv 8b \cdot 9^{-1} \pmod{19} \]

Tương tự, nếu \( 5b + 11a \equiv 0 \pmod{19} \), ta có:
\[ 5b + 11a \equiv 0 \pmod{19} \]
\[ 5b \equiv -11a \pmod{19} \]
\[ 5b \equiv 8a \pmod{19} \]

Do đó:
\[ b \equiv 8a \cdot 5^{-1} \pmod{19} \]

Vì \( M \) chia hết cho 19, và \( 9a + 11b \) hoặc \( 5b + 11a \) chia hết cho 19, nên \( M \) phải chia hết cho 19^2 = 361.

Vậy, \( M \) chia hết cho 361.