Để chứng minh \( \frac{3}{2}a^2 < 2b^2 \) với điều kiện \( 0 < a^2 < b^2 \), ta làm như sau:

1. Bắt đầu từ điều kiện \( 0 < a^2 < b^2 \):
\[ a^2 < b^2 \]

2. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức \( a^2 < b^2 \) với 2:
\[ 2a^2 < 2b^2 \]

3. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức \( a^2 < b^2 \) với \(\frac{3}{2}\):
\[ \frac{3}{2}a^2 < \frac{3}{2}b^2 \]

4. So sánh hai bất đẳng thức:
\[ \frac{3}{2}a^2 < \frac{3}{2}b^2 \]
\[ 2a^2 < 2b^2 \]

5. Vì \( \frac{3}{2}b^2 < 2b^2 \) (do \( \frac{3}{2} < 2 \)), ta có:
\[ \frac{3}{2}a^2 < 2b^2 \]

Vậy, ta đã chứng minh được \( \frac{3}{2}a^2 < 2b^2 \).