Cho số hữu tỉ a/b với b > 0. Chứng minh rằng nếu a/b > 1 thì ab + 1/b + 1 > a/b

Để chứng minh bất đẳng thức \( \frac{a}{b} > 1 \Rightarrow \frac{ab + 1}{b + 1} > \frac{a}{b} \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Giả thiết và mục tiêu:**
- Giả thiết: \( \frac{a}{b} > 1 \) (tức là \( a > b \) vì \( b > 0 \)).
- Mục tiêu: Chứng minh \( \frac{ab + 1}{b + 1} > \frac{a}{b} \).

2. **Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh:**
Ta cần chứng minh:
\[
\frac{ab + 1}{b + 1} > \frac{a}{b}
\]
Để dễ dàng so sánh hai phân số này, ta sẽ đưa chúng về cùng mẫu số:
\[
\frac{ab + 1}{b + 1} > \frac{a}{b} \Rightarrow (ab + 1) \cdot b > a \cdot (b + 1)
\]
\[
\Rightarrow ab^2 + b > ab + a
\]

3. **Đơn giản hóa bất đẳng thức:**
Ta sẽ chuyển tất cả các hạng tử về một vế:
\[
ab^2 + b > ab + a \Rightarrow ab^2 + b - ab - a > 0
\]
\[
\Rightarrow ab^2 - ab + b - a > 0
\]
\[
\Rightarrow b(ab - a) + (b - a) > 0
\]
\[
\Rightarrow (b - a)(ab - 1) > 0
\]

4. **Phân tích dấu của các biểu thức:**
- Từ giả thiết \( \frac{a}{b} > 1 \), ta có \( a > b \). Do đó, \( b - a < 0 \).
- Xét biểu thức \( ab - 1 \):
- Vì \( \frac{a}{b} > 1 \), nên \( a > b \).
- \( ab - 1 \) có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn 0, nhưng ta cần kiểm tra dấu của nó trong trường hợp cụ thể.

5. **Kiểm tra dấu của \( ab - 1 \):**
- Nếu \( ab > 1 \), thì \( ab - 1 > 0 \).
- Nếu \( ab < 1 \), thì \( ab - 1 < 0 \).

6. **Kết luận:**
- Trường hợp \( ab > 1 \):
- \( b - a < 0 \) và \( ab - 1 > 0 \), nên \( (b - a)(ab - 1) < 0 \), điều này không phù hợp với bất đẳng thức cần chứng minh.
- Trường hợp \( ab < 1 \):
- \( b - a < 0 \) và \( ab - 1 < 0 \), nên \( (b - a)(ab - 1) > 0 \), điều này phù hợp với bất đẳng thức cần chứng minh.

Do đó, bất đẳng thức \( \frac{ab + 1}{b + 1} > \frac{a}{b} \) đúng khi \( \frac{a}{b} > 1 \) và \( ab < 1 \).