Để giải các phương trình lượng giác sau, ta cần sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và các giá trị đặc biệt của hàm sin. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng phương trình:

a) \(\sin x = 3\)

Phương trình này vô nghiệm vì giá trị của hàm sin luôn nằm trong khoảng \([-1, 1]\).

b) \(\sin x = \frac{1}{2}\)

\[
x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}
\]

c) \(\sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\[
2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}
\]

\[
x = \frac{\pi}{6} + k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{2\pi}{3} + k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}
\]

d) \(\sin 3x = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\[
3x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 3x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}
\]

\[
x = \frac{\pi}{12} + \frac{2k\pi}{3} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{3\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3} \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}
\]

e) \(\sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2}\)

\[
x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad x + \frac{\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}
\]

\[
x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \pi + \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}
\]

\[
x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}
\]

f) \(2 \sin 2x = -\sqrt{2}\)

\[
\sin 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2}
\]

\[
2x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x = \pi + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}
\]

\[
x = -\frac{\pi}{8} + k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{5\pi}{8} + k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}
\]

g) \(\sin \left( 3x - \frac{\pi}{4} \right) = 1\)

\[
3x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}
\]

\[
3x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi
\]

\[
x = \frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3} \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}
\]

h) \(\sin \frac{2x}{3} = -1\)

\[
\frac{2x}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}
\]

\[
2x = -\frac{3\pi}{2} + 6k\pi
\]

\[
x = -\frac{3\pi}{4} + 3k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}
\]

i) \(\sin \left( \frac{x + \pi}{5} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\[
\frac{x + \pi}{5} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad \frac{x + \pi}{5} = \pi + \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}
\]

\[
x + \pi = -\frac{5\pi}{3} + 10k\pi \quad \text{hoặc} \quad x + \pi = \frac{4\pi}{3} + 10k\pi
\]

\[
x = -\frac{8\pi}{3} + 10k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 10k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}
\]

k) \(\sin \left( \frac{3x}{4} - \frac{\pi}{3} \right) = 0\)

\[
\frac{3x}{4} - \frac{\pi}{3} = k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}
\]

\[
3x = 4k\pi + \frac{4\pi}{3}
\]

\[
x = \frac{4k\pi}{3} + \frac{4\pi}{9} \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}
\]

l) \(\sin (2x + 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\[
2x + 30^\circ = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x + 30^\circ = \pi - \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}
\]

\[
2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi
\]

\[
2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi
\]

\[
x = \frac{\pi}{12} + k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}
\]

m) \(\sin (x + 45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\[
x + 45^\circ = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad x + 45^\circ = \pi + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}
\]

\[
x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \pi + \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi
\]

\[
x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \pi + 2k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}
\]

Hy vọng các lời giải trên sẽ giúp bạn hoàn thành bài tập của mình.