Cho biểu thức \( B = \frac{1}{x-1} + \frac{2x}{x^3 + x - x^2 - 1} \).

a) Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) và rút gọn \( B \):

- Điều kiện xác định: Biểu thức xác định khi các mẫu số khác 0.
\[
x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1
\]
\[
x^3 + x - x^2 - 1 \neq 0
\]
Ta xét phương trình \( x^3 - x^2 + x - 1 = 0 \):
\[
x^3 - x^2 + x - 1 = (x-1)(x^2 + 1)
\]
\[
x^2 + 1 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq -1 \text{ (luôn đúng với mọi } x \text{ thực)}
\]
Vậy điều kiện xác định là \( x \neq 1 \).

- Rút gọn \( B \):
\[
B = \frac{1}{x-1} + \frac{2x}{x^3 - x^2 + x - 1}
\]
\[
x^3 - x^2 + x - 1 = (x-1)(x^2 + 1)
\]
\[
B = \frac{1}{x-1} + \frac{2x}{(x-1)(x^2 + 1)}
\]
\[
B = \frac{1}{x-1} + \frac{2x}{(x-1)(x^2 + 1)} = \frac{(x^2 + 1) + 2x}{(x-1)(x^2 + 1)}
\]
\[
B = \frac{x^2 + 1 + 2x}{(x-1)(x^2 + 1)} = \frac{x^2 + 2x + 1}{(x-1)(x^2 + 1)}
\]
\[
B = \frac{(x+1)^2}{(x-1)(x^2 + 1)}
\]

b) Tìm \( x \) để \( B \) nhận giá trị nguyên:

\[
B = \frac{(x+1)^2}{(x-1)(x^2 + 1)}
\]
Để \( B \) nhận giá trị nguyên, tử số phải chia hết cho mẫu số. Ta xét các giá trị của \( x \) để \( B \) là số nguyên.

\[
(x+1)^2 \text{ phải chia hết cho } (x-1)(x^2 + 1)
\]

Ta thử một số giá trị của \( x \):

- Với \( x = 0 \):
\[
B = \frac{(0+1)^2}{(0-1)(0^2 + 1)} = \frac{1}{-1} = -1 \text{ (nguyên)}
\]

- Với \( x = -1 \):
\[
B = \frac{(-1+1)^2}{(-1-1)((-1)^2 + 1)} = \frac{0}{-2 \cdot 2} = 0 \text{ (nguyên)}
\]

Vậy \( x = 0 \) và \( x = -1 \) là các giá trị để \( B \) nhận giá trị nguyên.