Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

### a) Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) và rút gọn biểu thức \( C \)

Biểu thức \( C \) được cho là:
\[ C = \frac{3x}{x+3} \left( 1 + \frac{1}{x+2} \right) + \frac{9}{x+2} \]

#### Điều kiện xác định:
- Biểu thức xác định khi các mẫu số khác 0.
- \( x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3 \)
- \( x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 \)

Vậy điều kiện xác định của biểu thức là:
\[ x \neq -3 \text{ và } x \neq -2 \]

#### Rút gọn biểu thức:
Ta rút gọn từng phần của biểu thức \( C \).

1. Rút gọn phần đầu tiên:
\[ \frac{3x}{x+3} \left( 1 + \frac{1}{x+2} \right) = \frac{3x}{x+3} \left( \frac{x+2+1}{x+2} \right) = \frac{3x}{x+3} \left( \frac{x+3}{x+2} \right) = \frac{3x}{x+2} \]

2. Phần còn lại của biểu thức:
\[ \frac{3x}{x+2} + \frac{9}{x+2} = \frac{3x + 9}{x+2} = \frac{3(x+3)}{x+2} \]

Vậy biểu thức rút gọn của \( C \) là:
\[ C = \frac{3(x+3)}{x+2} \]

### b) Tìm \( x \) để \( C \) nhận giá trị nguyên

Biểu thức \( C \) rút gọn là:
\[ C = \frac{3(x+3)}{x+2} \]

Để \( C \) nhận giá trị nguyên, thì \(\frac{3(x+3)}{x+2}\) phải là một số nguyên. Điều này có nghĩa là \( x+2 \) phải là ước của \( 3(x+3) \).

Ta có:
\[ \frac{3(x+3)}{x+2} = 3 + \frac{3}{x+2} \]

Để biểu thức này là số nguyên, thì \(\frac{3}{x+2}\) phải là số nguyên. Do đó, \( x+2 \) phải là ước của 3. Các ước của 3 là: \( \pm 1, \pm 3 \).

- \( x+2 = 1 \Rightarrow x = -1 \)
- \( x+2 = -1 \Rightarrow x = -3 \) (loại vì \( x \neq -3 \))
- \( x+2 = 3 \Rightarrow x = 1 \)
- \( x+2 = -3 \Rightarrow x = -5 \)

Vậy các giá trị của \( x \) để \( C \) nhận giá trị nguyên là:
\[ x = -1, x = 1, x = -5 \]