Chúng ta sẽ phân tích các đa thức thành nhân tử như sau:

**Ví dụ 3:**

a) \( x^2 - 6xy + 9y^2 \)

Đây là một hằng đẳng thức đáng nhớ: \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

Vậy:
\[ x^2 - 6xy + 9y^2 = (x - 3y)^2 \]

b) \( x^2 - 9y^2 \)

Đây là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)

Vậy:
\[ x^2 - 9y^2 = (x - 3y)(x + 3y) \]

c) \( x^2y^2 - 4xy + 4 \)

Đặt \( z = xy \), ta có:
\[ z^2 - 4z + 4 \]

Đây là hằng đẳng thức: \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

Vậy:
\[ z^2 - 4z + 4 = (z - 2)^2 \]
\[ x^2y^2 - 4xy + 4 = (xy - 2)^2 \]

d) \( y^2 - (x^2 - 2x + 1) \)

Ta có:
\[ y^2 - (x^2 - 2x + 1) = y^2 - (x - 1)^2 \]

Đây là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)

Vậy:
\[ y^2 - (x - 1)^2 = (y - (x - 1))(y + (x - 1)) \]
\[ = (y - x + 1)(y + x - 1) \]

**Ví dụ 4:**

a) \( 8x^3 - 1 \)

Đây là hằng đẳng thức hiệu hai lập phương: \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)

Vậy:
\[ 8x^3 - 1 = (2x)^3 - 1^3 = (2x - 1)((2x)^2 + 2x \cdot 1 + 1^2) \]
\[ = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) \]

b) \( 8(x + 2)^3 - 1 \)

Đây là hằng đẳng thức hiệu hai lập phương: \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)

Vậy:
\[ 8(x + 2)^3 - 1 = (2(x + 2))^3 - 1^3 = (2(x + 2) - 1)((2(x + 2))^2 + 2(x + 2) \cdot 1 + 1^2) \]
\[ = (2x + 4 - 1)(4(x + 2)^2 + 2(x + 2) + 1) \]
\[ = (2x + 3)(4(x^2 + 4x + 4) + 2x + 4 + 1) \]
\[ = (2x + 3)(4x^2 + 16x + 16 + 2x + 4 + 1) \]
\[ = (2x + 3)(4x^2 + 18x + 21) \]

c) \( x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \)

Nhóm các hạng tử:
\[ x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = x^2(x + 6) + 4(3x + 2) \]

Nhận thấy rằng:
\[ x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = (x + 2)^3 \]

d) \( 8x^3 - 12x^2y + 6xy^2 - y^3 \)

Nhóm các hạng tử:
\[ 8x^3 - 12x^2y + 6xy^2 - y^3 = (2x)^3 - 3(2x)^2y + 3(2x)y^2 - y^3 \]

Đây là hằng đẳng thức lập phương của một hiệu: \( (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \)

Vậy:
\[ 8x^3 - 12x^2y + 6xy^2 - y^3 = (2x - y)^3 \]