### Bài 11:
Cho biểu thức \( A = \frac{3x+1}{x+3} \left( 1 + \frac{1}{x+2} \right) + \frac{9}{x+2} \)

a) Rút gọn \( A \):

Ta có:
\[ 1 + \frac{1}{x+2} = \frac{x+2+1}{x+2} = \frac{x+3}{x+2} \]

Do đó:
\[ A = \frac{3x+1}{x+3} \cdot \frac{x+3}{x+2} + \frac{9}{x+2} \]

Rút gọn:
\[ A = \frac{3x+1}{x+2} + \frac{9}{x+2} \]
\[ A = \frac{3x+1 + 9}{x+2} \]
\[ A = \frac{3x+10}{x+2} \]

b) Tìm các giá trị nguyên của \( x \) để \( A \) nhận giá trị nguyên:

\[ A = \frac{3x+10}{x+2} \]

Để \( A \) là số nguyên, thì \( \frac{3x+10}{x+2} \) phải là số nguyên. Gọi \( k \) là số nguyên đó, ta có:
\[ 3x + 10 = k(x + 2) \]
\[ 3x + 10 = kx + 2k \]
\[ 3x - kx = 2k - 10 \]
\[ x(3 - k) = 2k - 10 \]
\[ x = \frac{2k - 10}{3 - k} \]

Để \( x \) là số nguyên, thì \( \frac{2k - 10}{3 - k} \) phải là số nguyên. Ta thử các giá trị của \( k \):

- \( k = 1 \):
\[ x = \frac{2 \cdot 1 - 10}{3 - 1} = \frac{2 - 10}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

- \( k = 2 \):
\[ x = \frac{2 \cdot 2 - 10}{3 - 2} = \frac{4 - 10}{1} = -6 \]

- \( k = 3 \):
\[ x = \frac{2 \cdot 3 - 10}{3 - 3} \] không xác định vì mẫu bằng 0.

- \( k = 4 \):
\[ x = \frac{2 \cdot 4 - 10}{3 - 4} = \frac{8 - 10}{-1} = \frac{-2}{-1} = 2 \]

- \( k = 5 \):
\[ x = \frac{2 \cdot 5 - 10}{3 - 5} = \frac{10 - 10}{-2} = \frac{0}{-2} = 0 \]

Vậy các giá trị nguyên của \( x \) để \( A \) nhận giá trị nguyên là \( x = -4, -6, 2, 0 \).

### Bài 12:
Cho biểu thức \( Q = \left( \frac{x+1}{x^2 - 4} - \frac{1}{x+2} \right) (x-2) \)

a) Rút gọn \( Q \):

Ta có:
\[ x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \]

Do đó:
\[ \frac{x+1}{x^2 - 4} = \frac{x+1}{(x-2)(x+2)} \]

Biểu thức \( Q \) trở thành:
\[ Q = \left( \frac{x+1}{(x-2)(x+2)} - \frac{1}{x+2} \right) (x-2) \]

Rút gọn:
\[ Q = \left( \frac{x+1 - 1 \cdot (x-2)}{(x-2)(x+2)} \right) (x-2) \]
\[ Q = \left( \frac{x+1 - x + 2}{(x-2)(x+2)} \right) (x-2) \]
\[ Q = \left( \frac{3}{(x-2)(x+2)} \right) (x-2) \]
\[ Q = \frac{3}{x+2} \]

b) Tìm \( x \) để \( Q = 1 \):

\[ \frac{3}{x+2} = 1 \]
\[ 3 = x + 2 \]
\[ x = 1 \]

Vậy \( x = 1 \) là giá trị để \( Q = 1 \).