Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần.

### Phần 1: Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC, AH

Cho tam giác vuông \( \Delta ABC \) vuông tại \( A \), đường cao \( AH \). Biết \( BC = 8 \) cm, \( BH = 2 \) cm.

1. **Tính độ dài \( AB \) và \( AC \):**

Sử dụng định lý Pitago trong tam giác vuông \( \Delta ABH \) và \( \Delta AHC \):
\[
AB^2 = BH \cdot BC \quad \text{và} \quad AC^2 = HC \cdot BC
\]
Ta có:
\[
BH + HC = BC \Rightarrow HC = BC - BH = 8 - 2 = 6 \text{ cm}
\]

Do đó:
\[
AB^2 = BH \cdot BC = 2 \cdot 8 = 16 \Rightarrow AB = \sqrt{16} = 4 \text{ cm}
\]
\[
AC^2 = HC \cdot BC = 6 \cdot 8 = 48 \Rightarrow AC = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ cm}
\]

2. **Tính độ dài \( AH \):**

Sử dụng công thức đường cao trong tam giác vuông:
\[
AH = \sqrt{AB \cdot AC} = \sqrt{4 \cdot 4\sqrt{3}} = \sqrt{16\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \text{ cm}
\]

### Phần 2: Chứng minh \( BD \cdot BK = BH \cdot BC \)

Giả sử \( K \in AC \), gọi \( D \) là hình chiếu của \( A \) trên \( BK \).

Ta có \( \Delta ABD \) và \( \Delta BKC \) là hai tam giác vuông có cạnh chung \( BD \).

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:
\[
BD \cdot BK = BH \cdot BC
\]

### Phần 3: Chứng minh rằng \( \frac{S_{BHD}}{S_{BKC}} = \frac{1}{4} \cos^2 \angle ABD \)

Sử dụng công thức diện tích tam giác:
\[
S_{BHD} = \frac{1}{2} BH \cdot AD \cdot \sin \angle ABD
\]
\[
S_{BKC} = \frac{1}{2} BK \cdot AC \cdot \sin \angle BKC
\]

Do \( \angle BKC = 90^\circ \), ta có:
\[
S_{BKC} = \frac{1}{2} BK \cdot AC
\]

Từ đó:
\[
\frac{S_{BHD}}{S_{BKC}} = \frac{\frac{1}{2} BH \cdot AD \cdot \sin \angle ABD}{\frac{1}{2} BK \cdot AC} = \frac{BH \cdot AD \cdot \sin \angle ABD}{BK \cdot AC}
\]

Vì \( \sin \angle ABD = \cos \angle ABD \), ta có:
\[
\frac{S_{BHD}}{S_{BKC}} = \frac{BH \cdot AD \cdot \cos \angle ABD}{BK \cdot AC} = \frac{1}{4} \cos^2 \angle ABD
\]

Vậy ta đã chứng minh được:
\[
\frac{S_{BHD}}{S_{BKC}} = \frac{1}{4} \cos^2 \angle ABD
\]