Để chứng minh đẳng thức \((x+y)(x-y) - 9^2 = (x-2y)(x+5y) - 3xy\), ta sẽ bắt đầu bằng cách khai triển và đơn giản hóa cả hai vế của đẳng thức.

**Bước 1: Khai triển vế trái**

Vế trái là \((x+y)(x-y) - 9^2\).

Khai triển \((x+y)(x-y)\):
\[
(x+y)(x-y) = x^2 - y^2
\]

Do đó, vế trái trở thành:
\[
x^2 - y^2 - 9^2
\]

Vì \(9^2 = 81\), ta có:
\[
x^2 - y^2 - 81
\]

**Bước 2: Khai triển vế phải**

Vế phải là \((x-2y)(x+5y) - 3xy\).

Khai triển \((x-2y)(x+5y)\):
\[
(x-2y)(x+5y) = x^2 + 5xy - 2xy - 10y^2 = x^2 + 3xy - 10y^2
\]

Do đó, vế phải trở thành:
\[
x^2 + 3xy - 10y^2 - 3xy
\]

Khi trừ \(3xy\), ta có:
\[
x^2 - 10y^2
\]

**Bước 3: So sánh hai vế**

Vế trái sau khi khai triển và đơn giản hóa là:
\[
x^2 - y^2 - 81
\]

Vế phải sau khi khai triển và đơn giản hóa là:
\[
x^2 - 10y^2
\]

Để hai vế bằng nhau, ta cần:
\[
x^2 - y^2 - 81 = x^2 - 10y^2
\]

Trừ \(x^2\) từ cả hai vế, ta có:
\[
-y^2 - 81 = -10y^2
\]

Chuyển \(y^2\) sang vế phải:
\[
-81 = -9y^2
\]

Chia cả hai vế cho \(-9\):
\[
9 = y^2
\]

Do đó, \(y^2 = 9\), suy ra \(y = 3\) hoặc \(y = -3\).

Vậy, đẳng thức \((x+y)(x-y) - 9^2 = (x-2y)(x+5y) - 3xy\) đúng khi \(y = 3\) hoặc \(y = -3\).