Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các phương trình đã cho và tìm cách biểu diễn \(A = x^6 + xy + y^6\) dưới dạng các biểu thức đã biết.

Đầu tiên, ta có các phương trình:
\[ x^2 + xy + y^2 = 4 \tag{1} \]
\[ x^4 + x^2y^2 + y^4 = 8 \tag{2} \]

Ta bắt đầu bằng cách bình phương phương trình (1):
\[ (x^2 + xy + y^2)^2 = 4^2 \]
\[ x^4 + 2x^2y^2 + y^4 + 2x^3y + 2xy^3 = 16 \]
\[ x^4 + y^4 + x^2y^2 + 2x^3y + 2xy^3 = 16 \tag{3} \]

Từ phương trình (2), ta biết:
\[ x^4 + x^2y^2 + y^4 = 8 \]

Thay vào phương trình (3):
\[ 8 + 2x^3y + 2xy^3 = 16 \]
\[ 2x^3y + 2xy^3 = 8 \]
\[ x^3y + xy^3 = 4 \]
\[ xy(x^2 + y^2) = 4 \tag{4} \]

Ta có thể viết lại phương trình (1) như sau:
\[ x^2 + y^2 = 4 - xy \]

Thay vào phương trình (4):
\[ xy(4 - xy) = 4 \]
\[ 4xy - x^2y^2 = 4 \]
\[ x^2y^2 = 4xy - 4 \]
\[ (xy)^2 = 4xy - 4 \]
Đặt \( t = xy \), ta có phương trình:
\[ t^2 - 4t + 4 = 0 \]
\[ (t - 2)^2 = 0 \]
\[ t = 2 \]
Vậy \( xy = 2 \).

Tiếp theo, ta tính \( x^2 + y^2 \):
\[ x^2 + y^2 = 4 - xy = 4 - 2 = 2 \]

Bây giờ, ta tính \( x^6 + y^6 \):
\[ x^6 + y^6 = (x^2)^3 + (y^2)^3 \]
Sử dụng công thức lập phương của tổng:
\[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]
Với \( a = x^2 \) và \( b = y^2 \), ta có:
\[ x^6 + y^6 = (x^2 + y^2)((x^2)^2 - x^2y^2 + (y^2)^2) \]
\[ x^6 + y^6 = 2(x^4 - x^2y^2 + y^4) \]

Từ phương trình (2), ta biết:
\[ x^4 + y^4 = 8 - x^2y^2 \]
\[ x^2y^2 = 4 \]
\[ x^4 + y^4 = 8 - 4 = 4 \]

Vậy:
\[ x^6 + y^6 = 2(4 - 4) = 2 \times 0 = 0 \]

Cuối cùng, ta tính \( A \):
\[ A = x^6 + xy + y^6 = 0 + 2 + 0 = 2 \]

Vậy:
\[ A = 2 \]