Để tính các đường cao AH, BH và CH của tam giác ABC với các góc A = 20 độ, B = 30 độ và cạnh BC = 60 cm, chúng ta cần sử dụng một số công thức lượng giác và hình học.

1. **Tính độ dài các cạnh AB và AC:**

Sử dụng định lý sin trong tam giác ABC:
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]
Trong đó:
- \(a\) là độ dài cạnh BC (60 cm)
- \(b\) là độ dài cạnh AC
- \(c\) là độ dài cạnh AB
- \(A = 20^\circ\)
- \(B = 30^\circ\)
- \(C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 20^\circ - 30^\circ = 130^\circ\)

Ta có:
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{60}{\sin 20^\circ}
\]
\[
\frac{b}{\sin B} = \frac{b}{\sin 30^\circ}
\]
\[
\frac{c}{\sin C} = \frac{c}{\sin 130^\circ}
\]

Từ đó, ta có:
\[
b = \frac{60 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 20^\circ}
\]
\[
c = \frac{60 \cdot \sin 130^\circ}{\sin 20^\circ}
\]

Biết rằng:
\[
\sin 30^\circ = 0.5
\]
\[
\sin 130^\circ = \sin (180^\circ - 50^\circ) = \sin 50^\circ
\]

Ta có:
\[
b = \frac{60 \cdot 0.5}{\sin 20^\circ} = \frac{30}{\sin 20^\circ}
\]
\[
c = \frac{60 \cdot \sin 50^\circ}{\sin 20^\circ}
\]

2. **Tính các đường cao AH, BH và CH:**

Đường cao AH:
\[
AH = BC \cdot \sin A = 60 \cdot \sin 20^\circ
\]

Đường cao BH:
\[
BH = AC \cdot \sin B = b \cdot \sin 30^\circ = \frac{30}{\sin 20^\circ} \cdot 0.5 = \frac{15}{\sin 20^\circ}
\]

Đường cao CH:
\[
CH = AB \cdot \sin C = c \cdot \sin 130^\circ = \frac{60 \cdot \sin 50^\circ}{\sin 20^\circ} \cdot \sin 50^\circ = \frac{60 \cdot (\sin 50^\circ)^2}{\sin 20^\circ}
\]

Tóm lại, các đường cao AH, BH và CH của tam giác ABC là:
\[
AH = 60 \cdot \sin 20^\circ
\]
\[
BH = \frac{15}{\sin 20^\circ}
\]
\[
CH = \frac{60 \cdot (\sin 50^\circ)^2}{\sin 20^\circ}
\]