Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 12 cm, AC = 16 cm. Kẻ AH vuông góc BC (H thuộc BC).

a) Chứng minh Δ AHB ~ Δ CAB:

Để chứng minh Δ AHB ~ Δ CAB, ta cần chứng minh rằng hai tam giác này đồng dạng theo một trong các tiêu chuẩn đồng dạng tam giác (góc-góc, cạnh-cạnh-cạnh, cạnh-góc-cạnh).

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:
- Góc AHB và góc CAB đều bằng 90 độ (vì AH vuông góc với BC và A là góc vuông của tam giác ABC).
- Góc BAH chung.

Vậy, Δ AHB và Δ CAB có hai góc tương ứng bằng nhau, do đó chúng đồng dạng theo tiêu chuẩn góc-góc (AA).

b) Vẽ đường phân giác AD (D thuộc BC). Tính BD, CD:

Để tính BD và CD, ta sử dụng định lý đường phân giác trong tam giác.

Định lý đường phân giác trong tam giác ABC cho biết rằng:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]

Với AB = 12 cm và AC = 16 cm, ta có:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}
\]

Gọi BD = x và DC = y. Theo định lý đường phân giác, ta có:
\[
\frac{x}{y} = \frac{3}{4}
\]

Do đó, ta có:
\[
4x = 3y \quad \text{(1)}
\]

Mặt khác, vì D thuộc BC nên:
\[
BD + DC = BC
\]

Ta cần tính BC. Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400
\]
\[
BC = \sqrt{400} = 20 \text{ cm}
\]

Vậy:
\[
x + y = 20 \quad \text{(2)}
\]

Giải hệ phương trình (1) và (2):
\[
4x = 3y
\]
\[
x + y = 20
\]

Từ phương trình (1), ta có:
\[
y = \frac{4x}{3}
\]

Thay vào phương trình (2):
\[
x + \frac{4x}{3} = 20
\]
\[
\frac{3x + 4x}{3} = 20
\]
\[
\frac{7x}{3} = 20
\]
\[
7x = 60
\]
\[
x = \frac{60}{7} \approx 8.57 \text{ cm}
\]

Vậy:
\[
y = 20 - x = 20 - \frac{60}{7} = \frac{140 - 60}{7} = \frac{80}{7} \approx 11.43 \text{ cm}
\]

Do đó, BD ≈ 8.57 cm và CD ≈ 11.43 cm.