Để giải bài toán này, ta có thể hình dung trên mặt phẳng tọa độ.

1. **Xác định vị trí của điểm M:**
- Giả sử đường tròn có bán kính 1 và điểm A nằm ở vị trí (1, 0) trong hệ tọa độ (gốc A).
- Điểm M sẽ nằm trên đường tròn sao cho cung lượng giác AM có số đo 60°. Số đo 60° sẽ tương ứng với tọa độ của điểm M là:
\[
M = \left( \cos(60°), \sin(60°) \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)
\]

2. **Tìm tọa độ điểm N:**
- Điểm N là điểm đối xứng của M qua trục Oy. Khi đối xứng qua trục Oy, tọa độ của N sẽ thay đổi dấu phương hoành (x-coordinate). Do đó, tọa độ của N là:
\[
N = \left( -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)
\]

3. **Xác định số đo của cung AN:**
- Để tìm số đo của cung AN, ta có thể xác định góc AON (số đo của góc) với:
- Tọa độ của điểm A là (1, 0) và tọa độ của điểm N là \(\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\).
- Góc AON sẽ là góc giữa đường thẳng OA và đường thẳng ON.

4. **Tính số đo góc:**
- Đường thẳng OA tạo với trục x dương một góc 0° (vì OA nằm trên trục dương x), còn đường thẳng ON tạo với trục x một góc:
\[
\text{tan}(b) = \frac{\text{hệ số y}}{\text{hệ số x}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = -\sqrt{3}
\]
- Góc b sẽ nằm trong khoảng từ 90° đến 180° (vì tọa độ N có dấu y dương và x âm), do đó b = 120°.
- Vậy, góc AON = b - góc A = 120° - 0° = 120°.

5. **Số đo cung AN:**
- Cung AN sẽ tương ứng với số đo của góc AON, như vậy số đo của cung AN sẽ bằng 120°.

### Kết luận:
Số đo của cung AN trên đường tròn, với điểm A làm gốc, là **120°**.