Để giải bài toán này, ta cần sử dụng phương pháp giải hệ phương trình.

Gọi \( x \) là thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể (tính bằng giờ).
Gọi \( y \) là thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể (tính bằng giờ).

Theo đề bài, hai vòi cùng chảy thì bể đầy sau 1 giờ 12 phút, tức là \( \frac{6}{5} \) giờ. Do đó, ta có phương trình:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \]

Khi vòi thứ nhất chảy trong 30 phút (tức là \( \frac{1}{2} \) giờ) và vòi thứ hai chảy trong 45 phút (tức là \( \frac{3}{4} \) giờ) thì bể đầy \( \frac{17}{36} \) bể. Do đó, ta có phương trình:
\[ \frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3}{4}}{y} = \frac{17}{36} \]

Giải hệ phương trình này:

1. Từ phương trình đầu tiên:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \]

2. Từ phương trình thứ hai:
\[ \frac{1}{2x} + \frac{3}{4y} = \frac{17}{36} \]

Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với 36 để dễ dàng hơn trong việc giải:
\[ 36 \left( \frac{1}{2x} + \frac{3}{4y} \right) = 36 \cdot \frac{17}{36} \]
\[ 18 \cdot \frac{1}{x} + 27 \cdot \frac{1}{y} = 17 \]
\[ 18 \cdot \frac{1}{x} + 27 \cdot \frac{1}{y} = 17 \]

Đặt \( \frac{1}{x} = a \) và \( \frac{1}{y} = b \), ta có hệ phương trình:
\[ a + b = \frac{5}{6} \]
\[ 18a + 27b = 17 \]

Giải hệ phương trình này:

Từ phương trình đầu tiên:
\[ b = \frac{5}{6} - a \]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[ 18a + 27 \left( \frac{5}{6} - a \right) = 17 \]
\[ 18a + 27 \cdot \frac{5}{6} - 27a = 17 \]
\[ 18a + 22.5 - 27a = 17 \]
\[ -9a + 22.5 = 17 \]
\[ -9a = 17 - 22.5 \]
\[ -9a = -5.5 \]
\[ a = \frac{5.5}{9} = \frac{11}{18} \]

Do đó:
\[ \frac{1}{x} = \frac{11}{18} \]
\[ x = \frac{18}{11} \approx 1.636 \text{ giờ} \]

Tương tự:
\[ b = \frac{5}{6} - \frac{11}{18} = \frac{15}{18} - \frac{11}{18} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9} \]
\[ \frac{1}{y} = \frac{2}{9} \]
\[ y = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ giờ} \]

Vậy thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là:
- Vòi thứ nhất: khoảng 1.636 giờ (tức là khoảng 1 giờ 38 phút)
- Vòi thứ hai: 4.5 giờ (tức là 4 giờ 30 phút)