Để tìm tham số \( a \) sao cho hai đường thẳng \( d: x + y = 1 + a \) và \( d': (a+1)x + y = 4 \) thỏa mãn các điều kiện đã cho, ta sẽ xét từng trường hợp một.

a) \( d \) cắt \( d' \) tại một điểm:

Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm khi và chỉ khi hệ số góc của chúng khác nhau, tức là:
\[ \frac{1}{1} \neq \frac{1}{a+1} \]
Điều này tương đương với:
\[ 1 \neq a+1 \]
\[ a \neq 0 \]

Vậy \( a \neq 0 \) là điều kiện để \( d \) cắt \( d' \) tại một điểm.

b) \( d \) và \( d' \) song song:

Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi hệ số góc của chúng bằng nhau nhưng hằng số tự do khác nhau, tức là:
\[ \frac{1}{1} = \frac{1}{a+1} \]
và
\[ 1 + a \neq 4 \]

Điều này tương đương với:
\[ 1 = a+1 \]
\[ a = 0 \]
Nhưng \( 1 + a \neq 4 \) tức là:
\[ 1 + 0 \neq 4 \]
\[ 1 \neq 4 \] (luôn đúng)

Vậy \( a = 0 \) là điều kiện để \( d \) và \( d' \) song song.

c) \( d \) trùng với \( d' \):

Hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi hệ số góc và hằng số tự do của chúng bằng nhau, tức là:
\[ \frac{1}{1} = \frac{1}{a+1} \]
và
\[ 1 + a = 4 \]

Điều này tương đương với:
\[ 1 = a+1 \]
\[ a = 0 \]
và
\[ 1 + 0 = 4 \]
\[ 1 = 4 \] (không đúng)

Vậy không có giá trị nào của \( a \) để \( d \) trùng với \( d' \).

Tóm lại:
a) \( d \) cắt \( d' \) tại một điểm khi \( a \neq 0 \).
b) \( d \) và \( d' \) song song khi \( a = 0 \).
c) Không có giá trị nào của \( a \) để \( d \) trùng với \( d' \).